Püramiidi määratlus

Püramiid on hulktahukas, mille alus on hulknurk ja mille tahud on kolmnurgad.

Interneti-kalkulaator

Tasub peatuda püramiidi mõne komponendi määratlusel.

Tal, nagu ka teistel hulktahukatel, on ribid. Nad koonduvad ühte punkti, mida nimetatakse üleval püramiidid. See võib põhineda suvalisel hulknurgal. Edge on geomeetriline kujund, mis on moodustatud aluse ühest küljest ja kahest lähimast servast. Meie puhul on see kolmnurk. Kõrgus püramiid on kaugus tasapinnast, millel asub selle alus, kuni hulktahuka tipuni. Tavalise püramiidi jaoks on olemas ka kontseptsioon apoteemid- see on risti, mis laskub püramiidi tipust selle alusele.

Püramiidide tüübid

Püramiide ​​on kolme tüüpi:

1. Ristkülikukujuline- selline, mille mis tahes serv moodustab alusega täisnurga.
2. Õige- selle alus on tavaline geomeetriline kujund ja hulknurga enda tipp on aluse keskpunkti projektsioon.
3. Tetraeeder- kolmnurkadest koosnev püramiid. Veelgi enam, igaüks neist võib võtta aluseks.

Püramiidi pindala valem

Püramiidi kogupindala leidmiseks tuleb lisada külgpinna pindala ja aluse pindala.

Lihtsaim juhtum on tavalise püramiidi juhtum, seega käsitleme seda. Arvutame sellise püramiidi kogupindala. Külgpind on:

S pool = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\tekst(külg))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pS pool​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅lk

L l l- püramiidi apoteem;
lk lk lk- püramiidi aluse ümbermõõt.

Püramiidi kogupindala:

S = S pool + S peamine S = S_(\tekst(külg))+S_(\tekst(peamine))S=S pool​ + S põhilised​

S pool S_(\tekst(külg)) S pool​ - püramiidi külgpinna pindala;
S peamine S_(\tekst(põhi)) S põhilised​ - püramiidi aluse pindala.

Näide probleemi lahendamisest.

Leidke kolmnurkse püramiidi kogupindala, kui selle apoteem on 8 (cm) ja selle põhjas on võrdkülgne kolmnurk küljega 3 (cm)

Lahendus

L = 8 l = 8 l =8
a = 3 a = 3 a =3

Leiame aluse ümbermõõdu. Kuna alus on võrdkülgne kolmnurk küljega a a a, siis selle ümbermõõt lk lk lk(selle kõigi külgede summa):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9p =a+a+a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9

Siis on püramiidi külgpindala:

S pool = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\tekst(külg))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36S pool​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p =2 1 ​ ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (vt ruut)

Nüüd leiame püramiidi aluse pindala, see tähendab kolmnurga pindala. Meie puhul on kolmnurk võrdkülgne ja selle pindala saab arvutada järgmise valemi abil:

S main = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)S põhilised​ = 4 3 ​ ⋅ a 2 ​

A a a- kolmnurga külg.

Saame:

S main = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3,9 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3) )\cdot 3^2)(4)\umbes 3,9S põhilised​ = 4 3 ​ ⋅ a 2 ​ = 4 3 ​ ⋅ 3 2 ​ ≈ 3 . 9 (vt ruut)

Kogupindala:

S = S pool + S põhi ≈ 36 + 3,9 = 39,9 S = S_(\tekst(külg))+S_(\tekst(peamine))\umbes 36+3,9=39,9S=S pool​ + S põhilised​ ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (vt ruut)

Vastus: 39,9 cm ruutmeetrit

Teine näide, veidi keerulisem.

Püramiidi alus on ruut pindalaga 36 (cm2). Hulktahuka apoteem on 3 korda suurem kui aluse külg a a a. Leidke selle joonise kogupindala.

Lahendus

S nelik = 36 S_(\tekst(neliosa))=36S nelik​ = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a l =3 ⋅ a

Leiame aluse külje, see tähendab ruudu külje. Selle pindala ja külje pikkus on seotud:

S nelik = a 2 S_(\text(quad))=a^2S nelik​ = a 2
36 = a 2 36 = a^2 3 6 = a 2
a = 6 a = 6 a =6

Leiame püramiidi aluse ümbermõõdu (st ruudu ümbermõõdu):

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24p =a+a+a+a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4

Leiame apoteemi pikkuse:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18l =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8

Meie puhul:

S quad = S main S_(\text(quad))=S_(\text(basic))S nelik​ = S põhilised​

Jääb vaid leida külgpinna pindala. Vastavalt valemile:

S pool = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\tekst(külg))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216S pool​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p =2 1 ​ ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (vt ruut)

Kogupindala:

$S=S^{\text{pool + Spõhilised = 2 1 6 + 3 6 = 2 5 2 (vt ruut)}}$

Vastus: 252 cm ruutmeetrit

Tavalise püramiidi külgpinna pindala on võrdne selle apoteemi ja poole aluse perimeetri korrutisega.

Mis puutub kogupindalasse, siis lisame külgpinnale lihtsalt aluspinna.

Korrapärase püramiidi külgpind on võrdne aluse poolperimeetri ja apoteemi korrutisega.

Tõestus:

Kui aluse külg on a, külgede arv on n, siis on püramiidi külgpind võrdne:

a l n/2 =a n l/2=pl/2

kus l on apoteem ja p on püramiidi aluse ümbermõõt. Teoreem on tõestatud.

See valem kõlab järgmiselt:

Tavalise püramiidi külgpinna pindala on võrdne poolega püramiidi aluse perimeetri ja apoteemi korrutisest.

Püramiidi kogupindala arvutatakse järgmise valemiga:

S täis = S pool +S põhilised

Kui püramiid on ebakorrapärane, on selle külgpind võrdne selle külgpindade pindalade summaga.

Püramiidi ruumala

Helitugevus püramiid on võrdne ühe kolmandikuga aluse pindala ja kõrguse korrutisest.

Tõestus. Alustame kolmnurksest prismast. Joonestame tasapinna läbi prisma ülemise aluse tipu A" ja alumise aluse vastasserva BC. See tasapind lõikab prismast ära kolmnurkse püramiidi A" ABC. Me lagundame prisma ülejäänud osa tahketeks kehadeks, tõmmates tasapinna läbi külgpindade diagonaalide A"C ja B"C. Saadud kaks keha on samuti püramiidid. Arvestades kolmnurka A"B"C" ühe põhjaks ja C selle tipuks, näeme, et selle põhi ja kõrgus on samad, mis esimesel ära lõigatud püramiidil, seega püramiidid A"ABC ja CA"B"C" on suuruselt võrdsed. Lisaks on mõlemad uued püramiidid CA"B"C" ja A"B"BC ka võrdse suurusega - see selgub, kui võtta kolmnurgad BBC" ja B"CC " kui nende alused. "Päikestel on ühine tipp A," ja nende alused asuvad samal tasapinnal ja on võrdsed, seega on püramiidid võrdse suurusega. Seega on prisma jaotatud kolmeks võrdse suurusega püramiidiks; igaühe ruumala on võrdne ühe kolmandiku prisma ruumalaga, siis üldiselt on n-nurkse püramiidi ruumala võrdne ühe kolmandikuga sama kõrgusega ja sama (. või võrdne) alus Meenutades prisma ruumala väljendavat valemit, V=Sh, saame lõpptulemuse: V=1/3Sh.

Millist kuju me nimetame püramiidiks? Esiteks on see hulktahukas. Teiseks on selle hulktahuka põhjas suvaline hulknurk ja püramiidi külgedel (külgpindadel) on tingimata kolmnurkade kuju, mis koonduvad ühte ühisesse tippu. Nüüd, olles mõistest aru saanud, uurime välja, kuidas leida püramiidi pindala.

On selge, et sellise geomeetrilise keha pindala koosneb aluse ja kogu selle külgpinna pindalade summast.

Püramiidi aluse pindala arvutamine

Arvutusvalemi valik sõltub meie püramiidi aluseks oleva hulknurga kujust. See võib olla korrapärane, st sama pikkusega külgedega või ebakorrapärane. Vaatleme mõlemat võimalust.

Alusel on korrapärane hulknurk

Koolikursusest teame:

• ruudu pindala on võrdne selle külje ruudu pikkusega;
• Võrdkülgse kolmnurga pindala võrdub selle külje ruuduga, mis on jagatud 4-ga ja korrutatud ruutjuurega kolmest.

Kuid on olemas ka üldine valem mis tahes korrapärase hulknurga (Sn) pindala arvutamiseks: peate korrutama selle hulknurga (P) ümbermõõdu sellesse kirjutatud ringi raadiusega (r) ja seejärel jagama tulemus kahega: Sn=1/2P*r .

Alusel on ebakorrapärane hulknurk

Selle pindala leidmise skeem on kõigepealt jagada kogu hulknurk kolmnurkadeks, arvutada nende pindala valemiga: 1/2a*h (kus a on kolmnurga alus, h on kõrgus, mis on langetatud see alus), liitke kõik tulemused.

Püramiidi külgpindala

Nüüd arvutame välja püramiidi külgpinna pindala, s.o. selle kõigi külgmiste külgede pindalade summa. Siin on ka 2 võimalust.

1. Olgu meil suvaline püramiid, s.t. üks, mille põhjas on ebakorrapärane hulknurk. Seejärel peaksite arvutama iga näo pindala eraldi ja lisama tulemused. Kuna püramiidi küljed võivad definitsiooni järgi olla ainult kolmnurgad, tehakse arvutus ülalmainitud valemiga: S=1/2a*h.
2. Olgu meie püramiid õige, s.t. selle põhjas asub korrapärane hulknurk ja püramiidi tipu projektsioon on selle keskel. Seejärel piisab külgpinna (Sb) pindala arvutamiseks sellest, et leida pool aluse hulknurga perimeetri (P) ja külgmise külje kõrguse (h) korrutisest (sama kõigi tahkude puhul). ): Sb = 1/2 P*h. Hulknurga ümbermõõt määratakse selle kõigi külgede pikkuste liitmise teel.

Tavalise püramiidi kogupindala leitakse selle aluse pindala liitmisel kogu külgpinna pindalaga.

Näited

Näiteks arvutame algebraliselt mitme püramiidi pindalad.

Kolmnurkse püramiidi pindala

Sellise püramiidi põhjas on kolmnurk. Valemi So=1/2a*h abil leiame aluse pindala. Kasutame sama valemit, et leida püramiidi iga külje pindala, millel on ka kolmnurkne kuju, ja saame 3 piirkonda: S1, S2 ja S3. Püramiidi külgpinna pindala on kõigi pindalade summa: Sb = S1+ S2+ S3. Külgede ja aluse pindalade liitmisel saame soovitud püramiidi kogupindala: Sp = So+ Sb.

Nelinurkse püramiidi pindala

Külgpinna pindala on 4 liikme summa: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, millest igaüks arvutatakse kolmnurga pindala valemi abil. Ja aluse pindala tuleb otsida sõltuvalt nelinurga kujust - korrapärane või ebakorrapärane. Püramiidi kogupind saadakse jällegi, kui liidetakse antud püramiidi aluse pindala ja kogupindala.

Definitsioon. Külgserv- see on kolmnurk, mille üks nurk asub püramiidi ülaosas ja vastaskülg langeb kokku aluse (hulknurga) küljega.

Definitsioon. Külgmised ribid- need on külgpindade ühised küljed. Püramiidil on sama palju servi kui hulknurga nurki.

Definitsioon. Püramiidi kõrgus- see on risti, mis on langetatud püramiidi tipust põhja.

Definitsioon. Apoteem- see on risti püramiidi külgpinnaga, mis on langetatud püramiidi tipust aluse küljele.

Definitsioon. Diagonaalne lõige- see on püramiidi osa tasapinnast, mis läbib püramiidi tippu ja aluse diagonaali.

Definitsioon. Õige püramiid on püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk ja kõrgus langeb aluse keskele.

Püramiidi ruumala ja pindala

Valem. Püramiidi ruumala läbi aluse pindala ja kõrgus:

Püramiidi omadused

Kui kõik külgservad on võrdsed, saab püramiidi aluse ümber tõmmata ringi, mille aluse keskpunkt ühtib ringi keskpunktiga. Samuti läbib aluse (ringi) keskpunkti ülevalt alla lastud risti.

Kui kõik külgmised servad on võrdsed, on need aluse tasapinna suhtes samade nurkade all.

Külgmised servad on võrdsed, kui nad moodustavad aluse tasapinnaga võrdsed nurgad või kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse.

Kui külgpinnad on aluse tasapinna suhtes sama nurga all, saab püramiidi põhja kirjutada ringi ja püramiidi ülaosa projitseeritakse selle keskmesse.

Kui külgpinnad on aluse tasapinna suhtes sama nurga all, siis on külgpindade apoteemid võrdsed.

Tavalise püramiidi omadused

1. Püramiidi tipp on aluse kõigist nurkadest võrdsel kaugusel.

2. Kõik külgmised servad on võrdsed.

3. Kõik külgmised ribid on aluse suhtes võrdse nurga all.

4. Kõikide külgtahkude apoteemid on võrdsed.

5. Kõikide külgpindade pindalad on võrdsed.

6. Kõigil tahkudel on samad kahetahulised (tasapinnalised) nurgad.

7. Püramiidi ümber saab kirjeldada kera. Piiratud sfääri keskpunkt on servade keskosa läbivate perpendikulaaride lõikepunkt.

8. Püramiidi saab sobitada kera. Sissekirjutatud sfääri keskpunkt on serva ja aluse vahelisest nurgast lähtuvate poolitajate lõikepunkt.

9. Kui sissekirjutatud sfääri keskpunkt ühtib piiritletud sfääri keskpunktiga, siis on tasandi nurkade summa tipus π või vastupidi, üks nurk on võrdne π/n, kus n on arv nurgad püramiidi põhjas.

Seos püramiidi ja sfääri vahel

Püramiidi ümber olevat kera saab kirjeldada siis, kui püramiidi põhjas on hulktahukas, mille ümber saab kirjeldada ringjoont (vajalik ja piisav tingimus). Sfääri keskpunkt on püramiidi külgmiste servade keskpunkte risti läbivate tasapindade lõikepunkt.

Sfääri saab alati kirjeldada mis tahes kolmnurkse või korrapärase püramiidi ümber.

Kera saab püramiidi sisse kirjutada, kui püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandid ristuvad ühes punktis (vajalik ja piisav tingimus). Sellest punktist saab sfääri keskpunkt.

Püramiidi ja koonuse suhe

Koonust nimetatakse püramiidi sisse kantuks, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on kantud püramiidi põhja.

Püramiidi saab kirjutada koonuse, kui püramiidi apoteemid on üksteisega võrdsed.

Koonust nimetatakse ümber püramiidi, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on ümbritsetud püramiidi aluse ümber.

Püramiidi ümber olevat koonust saab kirjeldada, kui kõik püramiidi külgmised servad on üksteisega võrdsed.

Püramiidi ja silindri suhe

Püramiidi nimetatakse silindrisse kantuks, kui püramiidi tipp asub silindri ühel alusel ja püramiidi põhi on kantud silindri teisele alusele.

Silindrit saab kirjeldada ümber püramiidi, kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse.

Tetraeedril on neli tahku ja neli tippu ja kuus serva, kus kahel serval ei ole ühiseid tippe, kuid need ei puutu kokku.

Iga tipp koosneb kolmest tahust ja servast, mis moodustavad kolmnurkne nurk.

Nimetatakse lõiku, mis ühendab tetraeedri tippu vastaskülje keskpunktiga tetraeedri mediaan(GM).

Bimediaan nimetatakse lõiguks, mis ühendab vastasservade keskpunkte, mis ei puutu kokku (KL).

Kõik tetraeedri bimediaanid ja mediaanid lõikuvad ühes punktis (S). Sel juhul jagatakse bimediaanid pooleks ja mediaanid suhtega 3:1, alustades tipust.

Definitsioon. Teravnurkne püramiid- püramiid, mille apoteem on üle poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. Nürakujuline püramiid- püramiid, mille apoteem on alla poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. Regulaarne tetraeeder- tetraeeder, mille kõik neli tahku on võrdkülgsed kolmnurgad. See on üks viiest korrapärasest hulknurgast. Tavalises tetraeedris on kõik kahetahulised nurgad (tahkude vahel) ja kolmnurksed nurgad (tipu juures) võrdsed.

Definitsioon. Ristkülikukujuline tetraeeder on tetraeeder, mille tipus on kolme serva vahel täisnurk (servad on risti). Moodustuvad kolm nägu ristkülikukujuline kolmnurkne nurk ja tahud on täisnurksed kolmnurgad ja alus on suvaline kolmnurk. Mis tahes näo apoteem on võrdne poole aluse küljega, millele apoteem langeb.

Definitsioon. Isoeedriline tetraeeder nimetatakse tetraeedriks, mille külgpinnad on üksteisega võrdsed ja mille alus on korrapärane kolmnurk. Sellisel tetraeedril on tahud, mis on võrdhaarsed kolmnurgad.

Definitsioon. Ortotsentriline tetraeeder nimetatakse tetraeedriks, milles kõik kõrgused (perpendikulaarid), mis on langetatud ülalt vastasküljele, ristuvad ühes punktis.

Definitsioon. Tähepüramiid Nimetatakse hulktahukat, mille alus on täht.

Püramiidi pindala. Selles artiklis vaatleme tavaliste püramiididega seotud probleeme. Tuletan meelde, et tavaline püramiid on püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk, püramiidi tipp projitseeritakse selle hulknurga keskmesse.

Sellise püramiidi külgkülg on võrdhaarne kolmnurk.Selle korrapärase püramiidi tipust tõmmatud kolmnurga kõrgust nimetatakse apoteemiks, SF - apoteemiks:

Allpool esitatud probleemitüübi puhul peate leidma kogu püramiidi pindala või selle külgpinna pindala. Blogis on juba käsitletud mitmeid tavapüramiididega seotud probleeme, kus küsimus oli elementide leidmises (kõrgus, aluse serv, külgserv).

Ühtse riigieksami ülesannetes uuritakse tavaliselt korrapäraseid kolmnurkseid, nelinurkseid ja kuusnurkseid püramiide. Ma pole tavaliste viisnurksete ja seitsenurksete püramiididega probleeme näinud.

Kogu pinna pindala valem on lihtne - peate leidma püramiidi aluse pindala ja selle külgpinna pindala summa:

Vaatleme ülesandeid:

Tavalise nelinurkse püramiidi aluse küljed on 72, külgmised servad 164. Leidke selle püramiidi pindala.

Püramiidi pindala on võrdne külgpinna ja aluse pindalade summaga:

*Külgpind koosneb neljast võrdse pindalaga kolmnurgast. Püramiidi alus on ruut.

Püramiidi külje pindala saame arvutada, kasutades:

Seega on püramiidi pindala:

Vastus: 28224

Tavalise kuusnurkse püramiidi aluse küljed on 22, külgservad on 61. Leidke selle püramiidi külgpindala.

Korrapärase kuusnurkse püramiidi alus on korrapärane kuusnurk.

Selle püramiidi külgpind koosneb kuuest võrdsest kolmnurgast, mille küljed on 61, 61 ja 22:

Leiame kolmnurga pindala Heroni valemi abil:

Seega on külgpindala:

Vastus: 3240

* Ülaltoodud ülesannete puhul võib külgpinna pindala leida mõne teise kolmnurga valemi abil, kuid selleks peate arvutama apoteemi.

27155. Leia korrapärase nelinurkse püramiidi pindala, mille aluse küljed on 6 ja kõrgus 4.

Püramiidi pindala leidmiseks peame teadma aluse pindala ja külgpinna pindala:

Aluse pindala on 36, kuna see on ruut küljega 6.

Külgpind koosneb neljast tahust, mis on võrdsed kolmnurgad. Sellise kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma selle alust ja kõrgust (apoteem):

*Kolmnurga pindala on võrdne poolega aluse ja selle aluse kõrguse korrutisest.

Alus on teada, see võrdub kuuega. Leiame kõrguse. Mõelge täisnurksele kolmnurgale (kollasega esile tõstetud):

Üks jalg on võrdne 4-ga, kuna see on püramiidi kõrgus, teine ​​​​on 3, kuna see võrdub poole aluse servaga. Hüpotenuusi leiame Pythagorase teoreemi abil:

See tähendab, et püramiidi külgpinna pindala on:

Seega on kogu püramiidi pindala:

Vastus: 96

27069. Tavalise nelinurkse püramiidi aluse küljed on 10, külgservad 13. Leia selle püramiidi pindala.

27070. Korrapärase kuusnurkse püramiidi aluse küljed on 10, külgservad on 13. Leidke selle püramiidi külgpindala.

Samuti on olemas valemid tavalise püramiidi külgpinna jaoks. Tavalises püramiidis on alus külgpinna ortogonaalne projektsioon, seega:

P- baasi perimeeter, l- püramiidi apoteem

*See valem põhineb kolmnurga pindala valemil.

Kui soovite nende valemite tuletamise kohta lisateavet, ärge jätke seda mööda, jälgige artiklite avaldamist.See on kõik. Edu sulle!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Kodu » Loomade transport » Püramiidi ruudu õigused. Kuidas leida püramiidi külgpindala. Püramiidi külgpindala