Եռանկյուն բուրգի տարածք. Ճիշտ բուրգ. Սահմանում: Քառակուսի բուրգի տարածք

Սահմանում. Կողքի եզր- սա եռանկյուն է, որի մի անկյունը գտնվում է բուրգի վերևում, իսկ հակառակ կողմը համընկնում է հիմքի (բազմանկյուն) կողմի հետ:

Սահմանում. Կողային կողիկներ- սրանք կողային երեսների ընդհանուր կողմերն են: Բուրգը ունի այնքան եզրեր, որքան բազմանկյան անկյունները:

Սահմանում. Բուրգի բարձրությունը- սա վերևից մինչև բուրգի հիմքն իջեցված ուղղահայաց է:

Սահմանում. Ապաթեմ- սա բուրգի կողային երեսին ուղղահայաց է, բուրգի վերևից իջեցված հիմքի կողմը:

Սահմանում. Շեղանկյուն հատված- սա բուրգի մի հատված է բուրգի գագաթով և հիմքի անկյունագծով անցնող հարթությամբ:

Սահմանում. Ճիշտ բուրգբուրգ է, որի հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, իսկ բարձրությունը իջնում ​​է հիմքի կենտրոն։

Բուրգի ծավալը և մակերեսը

Բանաձև. Բուրգի ծավալըբազայի տարածքի և բարձրության միջոցով.

Բուրգի հատկությունները

Եթե ​​բոլոր կողային եզրերը հավասար են, ապա բուրգի հիմքի շուրջ կարելի է շրջանագիծ գծել, իսկ հիմքի կենտրոնը համընկնում է շրջանագծի կենտրոնի հետ։ Բացի այդ, վերևից ընկած ուղղահայացը անցնում է հիմքի (շրջանակի) կենտրոնով:

Եթե ​​բոլոր կողային եզրերը հավասար են, ապա դրանք թեքված են դեպի հիմքի հարթությունը նույն անկյուններով։

Կողային եզրերը հավասար են, երբ հիմքի հարթության հետ հավասար անկյուններ են կազմում կամ եթե բուրգի հիմքի շուրջ կարելի է նկարագրել շրջան։

Եթե ​​կողային երեսները թեքված են հիմքի հարթության վրա նույն անկյան տակ, ապա բուրգի հիմքում կարելի է մակագրել շրջան, իսկ բուրգի գագաթը նախագծվել նրա կենտրոնում։

Եթե ​​կողային երեսները թեքված են հիմքի հարթության վրա նույն անկյան տակ, ապա կողային երեսների ապոտեմները հավասար են։

Կանոնավոր բուրգի հատկությունները

1. Բուրգի գագաթը հավասար հեռավորության վրա է հիմքի բոլոր անկյուններից:

2. Բոլոր կողային եզրերը հավասար են:

3. Բոլոր կողային կողերը թեքված են հիմքի նկատմամբ հավասար անկյուններով:

4. Բոլոր կողային երեսների ապոտեմները հավասար են:

5. Բոլոր կողային երեսների մակերեսները հավասար են։

6. Բոլոր երեսներն ունեն նույն երկնիշ (հարթ) անկյունները։

7. Բուրգի շուրջը կարելի է նկարագրել գունդ: Շրջված գնդիկի կենտրոնը կլինի եզրերի միջով անցնող ուղղահայացների հատման կետը։

8. Դու կարող ես գունդը տեղավորել բուրգի մեջ։ Ներգծված գնդիկի կենտրոնը կլինի եզրի և հիմքի միջև ընկած անկյունից բխող բիսեկտորների հատման կետը:

9. Եթե ներգծված ոլորտի կենտրոնը համընկնում է շրջագծված ոլորտի կենտրոնի հետ, ապա գագաթի հարթության անկյունների գումարը հավասար է π-ի կամ հակառակը, մի անկյունը հավասար է π/n-ի, որտեղ n-ը թիվն է։ բուրգի հիմքում գտնվող անկյունները:

Բուրգի և ոլորտի միջև կապը

Գունդը կարելի է նկարագրել բուրգի շուրջը, երբ բուրգի հիմքում կա բազմանկյուն, որի շուրջ կարելի է նկարագրել շրջան (անհրաժեշտ և բավարար պայման): Ոլորտի կենտրոնը կլինի բուրգի կողային եզրերի միջնակետերով ուղղահայաց անցնող հարթությունների հատման կետը։

Ցանկացած եռանկյունաձև կամ կանոնավոր բուրգի շուրջ միշտ կարելի է նկարագրել գունդ:

Գունդը կարելի է մակագրել բուրգի մեջ, եթե բուրգի ներքին երկփեղկ անկյունների կիսադիր հարթությունները հատվում են մեկ կետում (անհրաժեշտ և բավարար պայման)։ Այս կետը կլինի ոլորտի կենտրոնը։

Բուրգի միացում կոնով

Կոն կոչվում է բուրգի մեջ գրված, եթե դրանց գագաթները համընկնում են, իսկ կոնի հիմքը մակագրված է բուրգի հիմքում։

Բուրգի մեջ կոն կարող է գրվել, եթե բուրգի ապոտեմները հավասար են միմյանց:

Կոն ասում են, որ շրջափակված է բուրգի շուրջը, եթե դրանց գագաթները համընկնում են, իսկ կոնի հիմքը շրջափակված է բուրգի հիմքի շուրջը։

Կոն կարելի է նկարագրել բուրգի շուրջ, եթե բուրգի բոլոր կողային եզրերը հավասար են միմյանց:

Բուրգի և մխոցի հարաբերությունը

Բուրգը կոչվում է մակագրված գլանով, եթե բուրգի գագաթը ընկած է գլանից մեկի հիմքի վրա, իսկ բուրգի հիմքը մակագրված է մխոցի մեկ այլ հիմքի վրա:

Բուրգի շուրջը կարելի է նկարագրել գլան, եթե բուրգի հիմքի շուրջ կարելի է նկարագրել շրջան։

Չորս գագաթն ունի չորս երես և չորս գագաթ և վեց եզր, որտեղ ցանկացած երկու եզր չունի ընդհանուր գագաթներ, բայց չեն հպվում:

Յուրաքանչյուր գագաթ բաղկացած է երեք դեմքերից և եզրերից, որոնք ձևավորվում են եռանկյուն անկյուն.

Տետրաեդրոնի գագաթը հակառակ դեմքի կենտրոնի հետ կապող հատվածը կոչվում է քառաեդրոնի միջն(ԳՄ):

Բիմեդիանկոչվում է հատված, որը կապում է հակառակ եզրերի միջնակետերը, որոնք չեն հպվում (KL):

Տետրաեդրոնի բոլոր բիմեդիանները և միջինները հատվում են մեկ կետում (S): Այս դեպքում բիմեդիանները բաժանվում են կիսով չափ, իսկ միջինները՝ 3:1 հարաբերակցությամբ՝ սկսած վերևից։

Սահմանում. Սուր անկյունային բուրգ- բուրգ, որի ապոտեմը հիմքի կողմի երկարության կեսից ավելին է:

Սահմանում. Բութ բուրգ- բուրգ, որի ապոտեմը հիմքի կողմի երկարության կեսից պակաս է:

Սահմանում. Կանոնավոր քառաեդրոն- քառաեդրոն, որի բոլոր չորս դեմքերը հավասարակողմ եռանկյուններ են: Այն հինգ կանոնավոր բազմանկյուններից մեկն է։ Կանոնավոր քառաեդրոնում բոլոր երկանկյուն անկյունները (դեմքերի միջև) և եռանկյուն անկյունները (գագաթին) հավասար են։

Սահմանում. Ուղղանկյուն քառանիստկոչվում է քառաեդրոն, որի գագաթին երեք եզրերի միջև կա ուղիղ անկյուն (եզրերը ուղղահայաց են): Ձևավորվում է երեք դեմք ուղղանկյուն եռանկյուն անկյունիսկ դեմքերը ուղղանկյուն եռանկյուններ են, իսկ հիմքը՝ կամայական եռանկյունի։ Ցանկացած դեմքի ապոտեմը հավասար է հիմքի այն կողմի կեսին, որի վրա ընկնում է ապոտեմը:

Սահմանում. Իզոեդրալ քառաեդրոնկոչվում է քառանիստ, որի կողային երեսները հավասար են միմյանց, իսկ հիմքը կանոնավոր եռանկյուն է։ Նման քառաեդրոնն ունի դեմքեր, որոնք հավասարաչափ եռանկյուններ են։

Սահմանում. Օրթոցենտրիկ քառաեդրոնկոչվում է քառանիստ, որի բոլոր բարձրությունները (ուղղահայացները), որոնք իջեցված են վերևից դեպի հակառակ երեսը, հատվում են մի կետում։

Սահմանում. Աստղային բուրգկոչվում է բազմանիստ, որի հիմքը աստղ է:

• Խնդիր 1. Գտեք բուրգի ընդհանուր մակերեսը
• Խնդիր 2. Գտեք կանոնավոր եռանկյուն բուրգի կողային մակերեսը

Խնդիր 1. Գտեք կանոնավոր բուրգի ընդհանուր մակերեսը

Լուծում.

Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի հիմքում ընկած է հավասարակողմ եռանկյուն:
Հետևաբար, խնդիրը լուծելու համար մենք կօգտագործենք կանոնավոր եռանկյունու հատկությունները.

Մենք գիտենք եռանկյան բարձրությունը, որտեղից կարող ենք գտնել նրա մակերեսը։
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Այսպիսով, հիմքի մակերեսը հավասար կլինի.
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Կողքի երեսի մակերեսը գտնելու համար մենք հաշվարկում ենք բարձրությունը ԿՄ։ Ըստ խնդրի՝ OKM անկյունը 45 աստիճան է։
Այսպիսով.
OK / MK = cos 45
Եկեք օգտագործենք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակը և փոխարինենք հայտնի արժեքները։

OK / MK = √2/2

Հաշվի առնենք, որ OK-ը հավասար է ներգծված շրջանագծի շառավղին։ Հետո
Լավ = √3/6a
Լավ = √3/6 * 6/√3 = 1

Հետո
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Այնուհետև կողային երեսի մակերեսը հավասար է եռանկյունի բարձրության և հիմքի արտադրյալի կեսին:
Կողք = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Այսպիսով, բուրգի ընդհանուր մակերեսը հավասար կլինի
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Պատասխանել: 3√3 + 18/√6

Խնդիր 2. Գտեք կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսը

Լուծում.

Քանի որ կանոնավոր եռանկյուն բուրգի հիմքը հավասարակողմ եռանկյուն է, AO-ն հիմքի շուրջը շրջագծված շրջանագծի շառավիղն է։
(Սա հետևում է)

Մենք գտնում ենք հավասարակողմ եռանկյան շուրջը շրջագծված շրջանագծի շառավիղը նրա հատկություններից

Ուստի կանոնավոր եռանկյուն բուրգի եզրերի երկարությունը հավասար կլինի.
AM 2 = MO 2 + AO 2
բուրգի բարձրությունը հայտնի է պայմանով (10 սմ), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Բուրգի յուրաքանչյուր կողմը հավասարաչափ եռանկյուն է: Ստորև ներկայացված առաջին բանաձևից մենք գտնում ենք հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը

S = 1/2 * 16 քառակուսի ((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 քառակուսի ((556/3) - 64)
S = 8 քառակուսի (364/3)
S = 16 քառակուսի (91/3)

Քանի որ կանոնավոր բուրգի բոլոր երեք երեսները հավասար են, կողային մակերեսը հավասար կլինի
3S = 48 √(91/3)

Պատասխան. 48 √(91/3)

Խնդիր 3. Գտեք կանոնավոր բուրգի ընդհանուր մակերեսը

Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի կողմը 3 սմ է, իսկ բուրգի կողային երեսի և հիմքի միջև ընկած անկյունը 45 աստիճան է։ Գտեք բուրգի ընդհանուր մակերեսը.

Լուծում.
Քանի որ բուրգը կանոնավոր է, դրա հիմքում կա հավասարակողմ եռանկյուն: Հետևաբար հիմքի տարածքն է


Այսպիսով = 9 * √3/4

Կողքի երեսի մակերեսը գտնելու համար մենք հաշվարկում ենք բարձրությունը ԿՄ։ Ըստ խնդրի՝ OKM անկյունը 45 աստիճան է։
Այսպիսով.
OK / MK = cos 45
Եկեք օգտվենք

Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության գործելակերպը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլ.փոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տեղեկությունները մեզ թույլ են տալիս կապ հաստատել ձեզ հետ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների հետ:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​գործընթացներում և/կամ Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական ​​մարմինների հրապարակային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա՝ բացահայտել ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Նախքան այս երկրաչափական պատկերի և նրա հատկությունների վերաբերյալ հարցեր ուսումնասիրելը, դուք պետք է հասկանաք որոշ տերմիններ: Երբ մարդը լսում է բուրգի մասին, պատկերացնում է հսկայական շենքեր Եգիպտոսում։ Ահա թե ինչպիսի տեսք ունեն ամենապարզները. Բայց դրանք գալիս են տարբեր տեսակների և ձևերի, ինչը նշանակում է, որ երկրաչափական ձևերի հաշվարկման բանաձևը տարբեր կլինի:

Ֆիգուրների տեսակները

Բուրգ - երկրաչափական պատկեր, որը նշանակում և ներկայացնում է մի քանի դեմքեր: Ըստ էության, սա նույն բազմանկյունն է, որի հիմքում ընկած է բազմանկյուն, իսկ կողքերում կան եռանկյուններ, որոնք միանում են մի կետում՝ գագաթը: Նկարը գալիս է երկու հիմնական տեսակի.

• ճիշտ;
• կտրված.

Առաջին դեպքում հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է։ Այստեղ բոլոր կողային մակերեսները հավասար ենիրենց և բուն գործչի միջև կուրախացնեն պերֆեկցիոնիստի աչքը:

Երկրորդ դեպքում կա երկու հիմք՝ մեծը հենց ներքևում և փոքրը՝ վերևի միջև՝ կրկնելով հիմնականի ձևը։ Այլ կերպ ասած, կտրված բուրգը բազային զուգահեռ ձևավորված խաչմերուկով բազմանիստ է:

Պայմաններ և նշաններ

Հիմնական տերմիններ.

• Կանոնավոր (հավասարակողմ) եռանկյուն- երեք հավասար անկյուններով և հավասար կողմերով գործիչ: Այս դեպքում բոլոր անկյունները 60 աստիճան են: Նկարը կանոնավոր պոլիէդրներից ամենապարզն է։ Եթե ​​այս ցուցանիշը ընկած է հիմքի վրա, ապա նման բազմանիստը կկոչվի կանոնավոր եռանկյուն: Եթե ​​հիմքը քառակուսի է, ապա բուրգը կկոչվի կանոնավոր քառանկյուն բուրգ:
• Vertex- ծայրերի միացման ամենաբարձր կետը: Գագաթի բարձրությունը ձևավորվում է ուղիղ գծով, որը ձգվում է գագաթից մինչև բուրգի հիմքը:
• Եզր– բազմանկյան հարթություններից մեկը: Այն կարող է լինել եռանկյունի տեսքով՝ եռանկյուն բուրգի դեպքում, կամ տրապեզի տեսքով՝ կտրված բուրգի դեպքում։
• Բաժին- մասնահատման արդյունքում ձևավորված հարթ գործիչ. Այն չպետք է շփոթել հատվածի հետ, քանի որ հատվածը ցույց է տալիս նաև այն, ինչ կա հատվածի հետևում:
• Ապաթեմ- բուրգի գագաթից մինչև դրա հիմքը գծված հատված: Դա նաև դեմքի բարձրությունն է, որտեղ գտնվում է բարձրության երկրորդ կետը: Այս սահմանումը վավեր է միայն կանոնավոր պոլիէդրոնի նկատմամբ։ Օրինակ, եթե սա կտրված բուրգ չէ, ապա դեմքը կլինի եռանկյուն: Այս դեպքում այս եռանկյան բարձրությունը կդառնա ապոտեմ:

Տարածքի բանաձևեր

Գտեք բուրգի կողային մակերեսըցանկացած տեսակ կարելի է անել մի քանի եղանակով. Եթե ​​պատկերը սիմետրիկ չէ և տարբեր կողմերով բազմանկյուն է, ապա այս դեպքում ավելի հեշտ է հաշվարկել ընդհանուր մակերեսը բոլոր մակերեսների ամբողջության միջոցով։ Այլ կերպ ասած, դուք պետք է հաշվարկեք յուրաքանչյուր դեմքի տարածքը և դրանք միասին գումարեք:

Կախված նրանից, թե ինչ պարամետրեր են հայտնի, կարող են պահանջվել քառակուսի, trapezoid, կամայական քառանկյուն և այլն հաշվարկելու բանաձևեր: Բանաձևերն իրենք են տարբեր դեպքերումկունենա նաև տարբերություններ.

Սովորական գործչի դեպքում տարածքը գտնելը շատ ավելի հեշտ է։ Բավական է իմանալ ընդամենը մի քանի հիմնական պարամետր։ Շատ դեպքերում հաշվարկները պահանջվում են հատուկ նման թվերի համար: Հետևաբար ստորև տրվելու են համապատասխան բանաձևեր։ Հակառակ դեպքում, դուք ստիպված կլինեք ամեն ինչ գրել մի քանի էջերի վրա, ինչը ձեզ միայն կշփոթեցնի և շփոթեցնի:

Հաշվարկի հիմնական բանաձևըԿանոնավոր բուրգի կողային մակերեսը կունենա հետևյալ ձևը.

S=½ Pa (P-ը հիմքի պարագիծն է և ապոտեմն է)

Դիտարկենք մեկ օրինակ։ Բազմայրն ունի հիմք՝ A1, A2, A3, A4, A5 հատվածներով, և բոլորը հավասար են 10 սմ, թող ապոտեմը հավասար լինի 5 սմ, նախ պետք է գտնել պարագիծը։ Քանի որ հիմքի բոլոր հինգ երեսները նույնն են, այն կարող եք գտնել այսպես՝ P = 5 * 10 = 50 սմ: Այնուհետև մենք կիրառում ենք հիմնական բանաձևը. S = ½ * 50 * 5 = 125 սմ քառակուսի:

Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի կողային մակերեսըամենահեշտ հաշվարկելը. Բանաձևն այսպիսի տեսք ունի.

S =½* ab *3, որտեղ a-ն ապոտեմն է, b-ը հիմքի երեսն է: Այստեղ երեքի գործակիցը նշանակում է հիմքի երեսների քանակը, իսկ առաջին մասը՝ կողային մակերեսի տարածքը։ Դիտարկենք մի օրինակ։ Տրվում է 5 սմ ապոտեմով և 8 սմ հիմքի եզրով պատկեր, հաշվում ենք՝ S = 1/2*5*8*3=60 սմ քառակուսի։

Կտրված բուրգի կողային մակերեսըՄի քիչ ավելի դժվար է հաշվարկել։ Բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը՝ S =1/2*(p_01+ p_02)*a, որտեղ p_01 և p_02 հիմքերի պարագծերն են և ապոտեմն է։ Դիտարկենք մի օրինակ։ Ասենք, որ քառանկյուն գործչի համար հիմքերի կողմերի չափերն են 3 և 6 սմ, իսկ ապոտեմը 4 սմ է։

Այստեղ նախ պետք է գտնել հիմքերի պարագծերը՝ р_01 =3*4=12 սմ; р_02=6*4=24 սմ Մնում է արժեքները փոխարինել հիմնական բանաձևով և ստանում ենք՝ S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 սմ քառակուսի։

Այսպիսով, դուք կարող եք գտնել ցանկացած բարդության սովորական բուրգի կողային մակերեսը: Պետք է զգույշ լինել և չշփոթելայս հաշվարկները ամբողջ պոլիէդրոնի ընդհանուր մակերեսով: Եվ եթե դուք դեռ պետք է դա անեք, պարզապես հաշվարկեք պոլիէդրոնի ամենամեծ հիմքի տարածքը և ավելացրեք այն պոլիէդրոնի կողային մակերեսի տարածքին:

Տեսանյութ

Այս տեսանյութը կօգնի ձեզ համախմբել տեղեկատվությունը, թե ինչպես գտնել տարբեր բուրգերի կողային մակերեսը:

Մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությանը նախապատրաստվելիս ուսանողները պետք է համակարգեն հանրահաշվի և երկրաչափության մասին իրենց գիտելիքները: Ես կցանկանայի համատեղել բոլոր հայտնի տեղեկությունները, օրինակ, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել բուրգի տարածքը: Ընդ որում, սկսած հիմքից և կողային եզրերից մինչև ամբողջ մակերեսը։ Եթե ​​կողային երեսների հետ կապված իրավիճակը պարզ է, քանի որ դրանք եռանկյուններ են, ապա հիմքը միշտ տարբեր է:

Ինչպե՞ս գտնել բուրգի հիմքի տարածքը:

Դա կարող է լինել բացարձակապես ցանկացած գործիչ՝ կամայական եռանկյունից մինչև n-անկյուն: Եվ այս հիմքը, ի լրումն անկյունների քանակի տարբերության, կարող է լինել կանոնավոր գործիչ կամ անկանոն։ Միասնական պետական ​​քննության առաջադրանքներում, որոնք հետաքրքրում են դպրոցականներին, հիմքում կան միայն ճիշտ թվերով առաջադրանքներ։ Հետեւաբար, մենք կխոսենք միայն նրանց մասին:

Կանոնավոր եռանկյուն

Այսինքն՝ հավասարակողմ։ Այն, որտեղ բոլոր կողմերը հավասար են և նշվում են «ա» տառով: Այս դեպքում բուրգի հիմքի մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով.

S = (a 2 * √3) / 4.

Քառակուսի

Նրա տարածքը հաշվարկելու բանաձևը ամենապարզն է, այստեղ «ա»-ն կրկին կողմն է.

Կամայական կանոնավոր n-gon

Բազմանկյունի կողմն ունի նույն նշումը։ Անկյունների քանակի համար օգտագործվում է լատինական n տառը։

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)):

Ի՞նչ անել կողային և ընդհանուր մակերեսը հաշվարկելիս:

Քանի որ հիմքը կանոնավոր կերպար է, բուրգի բոլոր երեսները հավասար են: Ընդ որում, նրանցից յուրաքանչյուրը հավասարաչափ եռանկյուն է, քանի որ կողային եզրերը հավասար են։ Այնուհետև, բուրգի կողային մակերեսը հաշվարկելու համար ձեզ հարկավոր է մի բանաձև, որը բաղկացած է միանման միանվագների գումարից: Տերմինների թիվը որոշվում է հիմքի կողմերի քանակով:

Հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը հաշվարկվում է այն բանաձևով, որով հիմքի արտադրյալի կեսը բազմապատկվում է բարձրությամբ: Բուրգի այս բարձրությունը կոչվում է ապոտեմ: Դրա նշանակումը «A» է: Կողային մակերեսի ընդհանուր բանաձևը հետևյալն է.

S = ½ P*A, որտեղ P-ը բուրգի հիմքի պարագիծն է:

Կան իրավիճակներ, երբ հիմքի կողմերը հայտնի չեն, բայց տրված են կողային եզրերը (c) և նրա գագաթի հարթ անկյունը (α): Այնուհետև բուրգի կողային տարածքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել հետևյալ բանաձևը.

S = n/2 * 2 sin α-ում .

Առաջադրանք թիվ 1

Վիճակ.Գտե՛ք բուրգի ընդհանուր մակերեսը, եթե դրա հիմքը ունի 4 սմ կողմ, իսկ ապոտեմը՝ √3 սմ:

Լուծում.Դուք պետք է սկսեք բազայի պարագծի հաշվարկից: Քանի որ սա կանոնավոր եռանկյուն է, ապա P = 3*4 = 12 սմ: Քանի որ ապոտեմը հայտնի է, մենք կարող ենք անմիջապես հաշվարկել ամբողջ կողային մակերեսի տարածքը. ½*12*√3 = 6√3 սմ 2:

Հիմքի վրա գտնվող եռանկյունու համար դուք ստանում եք տարածքի հետևյալ արժեքը՝ (4 2 *√3) / 4 = 4√3 սմ 2:

Ամբողջ տարածքը որոշելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել ստացված երկու արժեքները՝ 6√3 + 4√3 = 10√3 սմ 2:

Պատասխանել. 10√3 սմ 2:

Խնդիր թիվ 2

Վիճակ. Կա կանոնավոր քառանկյուն բուրգ։ Հիմքի կողմի երկարությունը 7 մմ է, կողային եզրը՝ 16 մմ։ Անհրաժեշտ է պարզել դրա մակերեսը:

Լուծում.Քանի որ բազմանիստը քառանկյուն է և կանոնավոր, դրա հիմքը քառակուսի է։ Երբ իմանաք հիմքի և կողային երեսների տարածքը, կկարողանաք հաշվարկել բուրգի տարածքը: Քառակուսու բանաձևը տրված է վերևում։ Իսկ կողային երեսների համար հայտնի են եռանկյան բոլոր կողմերը։ Հետևաբար, դուք կարող եք օգտագործել Հերոնի բանաձևը դրանց տարածքները հաշվարկելու համար:

Առաջին հաշվարկները պարզ են և հանգեցնում են հետևյալ թվին. 49 մմ 2: Երկրորդ արժեքի համար ձեզ հարկավոր է հաշվարկել կիսաշրջագիծը՝ (7 + 16*2): 2 = 19,5 մմ: Այժմ կարող եք հաշվարկել հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը՝ √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 մմ 2: Այդպիսի եռանկյունները ընդամենը չորսն են, ուստի վերջնական թիվը հաշվարկելիս անհրաժեշտ կլինի այն բազմապատկել 4-ով:

Ստացվում է՝ 49 + 4 * 54.644 = 267.576 մմ 2:

Պատասխանել. Ցանկալի արժեքը 267,576 մմ 2 է:

Խնդիր թիվ 3

Վիճակ. Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի համար անհրաժեշտ է հաշվարկել տարածքը: Հայտնի է, որ քառակուսու կողմը 6 սմ է, իսկ բարձրությունը՝ 4 սմ։

Լուծում.Ամենահեշտ ձևը բանաձևն օգտագործելն է պարագծի և ապոտեմի արտադրյալի հետ: Առաջին արժեքը հեշտ է գտնել: Երկրորդը մի փոքր ավելի բարդ է.

Մենք ստիպված կլինենք հիշել Պյութագորասի թեորեմը և հաշվի առնել, որ Այն ձևավորվում է բուրգի բարձրությունից և ապոտեմից, որը հիպոթենուսն է: Երկրորդ ոտքը հավասար է քառակուսու կողմի կեսին, քանի որ պոլիէդրոնի բարձրությունը ընկնում է նրա մեջտեղում:

Պահանջվող ապոտեմը (ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսը) հավասար է √(3 2 + 4 2) = 5 (սմ):

Այժմ կարող եք հաշվարկել պահանջվող արժեքը՝ ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (սմ 2):

Պատասխանել. 96 սմ 2.

Խնդիր թիվ 4

Վիճակ.Տրված է ճիշտ կողմը, նրա հիմքի կողմերը 22 մմ են, կողային եզրերը՝ 61 մմ։ Որքա՞ն է այս պոլիէդրոնի կողային մակերեսը:

Լուծում.Դրանում եղած պատճառաբանությունը նույնն է, ինչ նկարագրված է թիվ 2 առաջադրանքում։ Միայն այնտեղ տրվել է բուրգ, որի հիմքում քառակուսի է, իսկ այժմ այն ​​վեցանկյուն է։

Նախևառաջ, բազային տարածքը հաշվարկվում է վերը նշված բանաձևով. (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 սմ 2:

Այժմ դուք պետք է պարզեք հավասարաչափ եռանկյունու կիսաշրջագիծը, որը կողային երեսն է: (22+61*2):2 = 72 սմ: Մնում է օգտագործել Հերոնի բանաձևը՝ յուրաքանչյուր նման եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու համար, այնուհետև այն բազմապատկել վեցով և ավելացնել այն հիմքի համար ստացվածին:

Հաշվարկներ՝ օգտագործելով Հերոնի բանաձևը՝ √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 սմ 2: Հաշվարկներ, որոնք կտան կողային մակերեսի մակերեսը՝ 660 * 6 = 3960 սմ 2: Մնում է դրանք գումարել՝ ամբողջ մակերեսը պարզելու համար՝ 5217.47≈5217 սմ 2։

Պատասխանել.Հիմքը՝ 726√3 սմ 2, կողային մակերեսը՝ 3960 սմ 2, ամբողջ մակերեսը՝ 5217 սմ 2։

տուն » Սուս » Եռանկյուն բուրգի տարածք. Ճիշտ բուրգ. Սահմանում: Քառակուսի բուրգի տարածք