Үшбұрышты пирамиданың ауданы. Дұрыс пирамида. Анықтама: шаршы пирамиданың ауданы

Анықтама. Бүйір жиегі- бұл үшбұрыш, оның бір бұрышы пирамиданың төбесінде жатыр, ал қарама-қарсы қабырғасы табан жағымен (көпбұрыш) сәйкес келеді.

Анықтама. Бүйір қабырғалары- бұл бүйірлік беттердің ортақ жақтары. Пирамиданың шеттері көпбұрыштың бұрыштары сияқты көп.

Анықтама. Пирамида биіктігі- бұл пирамиданың төбесінен табанына түсірілген перпендикуляр.

Анықтама. Апотем- бұл пирамиданың төбесінен табан жағына түсірілген пирамиданың бүйір бетіне перпендикуляр.

Анықтама. Диагональды қима- бұл пирамиданың төбесі мен табанының диагоналы арқылы өтетін жазықтықпен пирамиданың кесіндісі.

Анықтама. Дұрыс пирамиданегізі дұрыс көпбұрыш, ал биіктігі табанның ортасына түсетін пирамида.

Пирамиданың көлемі мен бетінің ауданы

Формула. Пирамиданың көлемібазаның ауданы мен биіктігі бойынша:

Пирамиданың қасиеттері

Егер барлық бүйір жиектер тең болса, онда пирамиданың табанын айнала шеңбер сызуға болады, ал табанның ортасы шеңбердің центрімен сәйкес келеді. Сондай-ақ, жоғарыдан түсірілген перпендикуляр негіздің (шеңбердің) ортасынан өтеді.

Егер барлық бүйір жиектер тең болса, онда олар бірдей бұрыштардағы негіз жазықтығына еңкейеді.

Бүйірлік жиектер табан жазықтығымен тең бұрыштар жасағанда немесе пирамида табанының айналасында шеңберді сипаттауға болатын болса, тең болады.

Егер бүйір беттері негіз жазықтығына бірдей бұрышпен қисайған болса, онда пирамиданың табанына шеңберді жазуға болады, ал пирамиданың жоғарғы жағы оның ортасына проекцияланады.

Егер бүйірлік беттер негіз жазықтығына бірдей бұрышта қисайса, онда бүйір беттердің апотемалары тең болады.

Тұрақты пирамиданың қасиеттері

1. Пирамиданың төбесі негіздің барлық бұрыштарынан бірдей қашықтықта орналасқан.

2. Барлық бүйір жиектер бірдей.

3. Барлық бүйір қабырғалары негізге бірдей бұрышпен еңкейтілген.

4. Барлық бүйір беттердің апотемасы тең.

5. Барлық бүйір беттердің аудандары тең.

6. Барлық беттердің екібұрышты (жалпақ) бұрыштары бірдей.

7. Пирамиданың айналасында шарды сипаттауға болады. Шектелген шардың ортасы шеттердің ортасынан өтетін перпендикулярлардың қиылысу нүктесі болады.

8. Шарды пирамидаға сыйғызуға болады. Шет пен негіз арасындағы бұрыштан шығатын биссектрисалардың қиылысу нүктесі сызылған шардың ортасы болады.

9. Егер іштей сызылған шардың центрі шеңберленген шардың центрімен сәйкес келсе, онда төбесіндегі жазық бұрыштардың қосындысы π-ке тең немесе керісінше, бір бұрыш π/n-ге тең, мұндағы n - сан. пирамиданың табанындағы бұрыштардың саны.

Пирамида мен шар арасындағы байланыс

Пирамиданың төңірегінде шарды суреттеуге болады, егер пирамиданың негізінде көп қырлы шеңбер болса, оның айналасында шеңберді сипаттауға болады (қажетті және жеткілікті шарт). Шар центрі пирамиданың бүйір шеттерінің орта нүктелері арқылы перпендикуляр өтетін жазықтықтардың қиылысу нүктесі болады.

Шарды әрқашан кез келген үшбұрышты немесе дұрыс пирамиданың айналасында сипаттауға болады.

Пирамиданың ішкі екі қырлы бұрыштарының биссектриса жазықтықтары бір нүктеде қиылысатын болса, шарды пирамидаға сызуға болады (қажетті және жеткілікті шарт). Бұл нүкте шардың орталығы болады.

Пирамида мен конустың байланысы

Конус пирамидаға сызылған деп аталады, егер олардың төбелері сәйкес келсе және конустың табаны пирамида табанына сызылған.

Пирамиданың апотемалары бір-біріне тең болса, конусты пирамидаға жазуға болады.

Конус пирамиданың айналасында сызылған деп аталады, егер олардың төбелері сәйкес келсе және конустың табаны пирамида табанының айналасында шектелген болса.

Конусты пирамиданың айналасында сипаттауға болады, егер пирамиданың барлық бүйір шеттері бір-біріне тең болса.

Пирамида мен цилиндр арасындағы байланыс

Пирамида цилиндрге сызылған деп аталады, егер пирамиданың төбесі цилиндрдің бір табанында жатса, ал пирамиданың табаны цилиндрдің басқа табанында болса.

Пирамиданың табанының айналасында шеңберді сипаттауға болатын болса, цилиндрді пирамиданың айналасында сипаттауға болады.

Тетраэдрдің төрт беті, төрт төбесі және алты қыры бар, мұнда кез келген екі шетінің ортақ төбелері жоқ, бірақ жанаспайды.

Әрбір шың үш жақтан және пайда болатын шеттерден тұрады үшбұрышты бұрыш.

Тетраэдр төбесін қарама-қарсы бетінің центрімен қосатын кесінді деп аталады тетраэдрдің медианасы(GM).

Бимедианжанаспайтын қарама-қарсы шеттердің ортаңғы нүктелерін қосатын сегмент (KL) деп аталады.

Тетраэдрдің барлық бимедиандары мен медианалары бір нүктеде (S) қиылысады. Бұл жағдайда бимедиандар екіге бөлінеді, ал медианалар жоғарыдан бастап 3:1 қатынасында бөлінеді.

Анықтама. Сүйір бұрышты пирамида- апотема негізінің бүйірінің ұзындығының жартысынан астамы болатын пирамида.

Анықтама. Доғал пирамида- апотемасы негіз жағының ұзындығының жартысынан аз болатын пирамида.

Анықтама. Тұрақты тетраэдр- барлық төрт беті тең қабырғалы үшбұрыштар болатын тетраэдр. Бұл бес дұрыс көпбұрыштың бірі. Дұрыс тетраэдрде барлық екі қырлы бұрыштар (беттер арасындағы) және үшбұрыштар (төбесінде) тең.

Анықтама. Тік бұрышты тетраэдртөбесінде үш шетінің арасында тік бұрыш болатын тетраэдр деп аталады (шеттері перпендикуляр). Үш бет қалыптасады тікбұрышты үшбұрышты бұрышжәне беттері тікбұрышты үшбұрыштар, ал негізі ерікті үшбұрыш. Кез келген тұлғаның апотемасы апотем түсетін негіздің жарты жағына тең.

Анықтама. Изоэдрлік тетраэдрбүйір беттері бір-біріне тең, ал табаны дұрыс үшбұрыш болатын тетраэдр деп аталады. Мұндай тетраэдрдің тең қабырғалы үшбұрыштар болып табылатын беттері болады.

Анықтама. Ортоцентрлік тетраэдржоғарыдан қарама-қарсы бетке түсірілген барлық биіктіктер (перпендикулярлар) бір нүктеде қиылысатын тетраэдр деп аталады.

Анықтама. Жұлдызды пирамидаТабаны жұлдыз болып табылатын көп қырлы деп аталады.

• Есеп 1. Пирамиданың жалпы бетінің ауданын табыңыз
• Есеп 2. Дұрыс үшбұрышты пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз

Мәселе 1. Дұрыс пирамиданың жалпы бетінің ауданын табыңыз

Шешім.

Дұрыс үшбұрышты пирамиданың негізінде тең қабырғалы үшбұрыш жатыр.
Сондықтан есепті шешу үшін дұрыс үшбұрыштың қасиеттерін қолданамыз:

Біз үшбұрыштың биіктігін білеміз, оның ауданын қайдан табуға болады.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Неліктен базаның ауданы тең болады:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Бүйір бетінің ауданын табу үшін биіктігі KM есептейміз. Есепке сәйкес OKM бұрышы 45 градус.
Осылайша:
OK / MK = cos 45
Тригонометриялық функциялардың мәндерінің кестесін қолданып, белгілі мәндерді ауыстырайық.

OK / MK = √2/2

ОК сызылған шеңбердің радиусына тең екенін ескерейік. Содан кейін
Жарайды = √3/6a
Жарайды = √3/6 * 6/√3 = 1

Содан кейін
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Содан кейін бүйір бетінің ауданы үшбұрыштың биіктігі мен табанының көбейтіндісінің жартысына тең болады.
Sside = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Осылайша, пирамиданың жалпы бетінің ауданы тең болады
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Жауап: 3√3 + 18/√6

Мәселе 2. Дұрыс пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз

Шешім.

Дұрыс үшбұрышты пирамиданың табаны тең бүйірлі үшбұрыш болғандықтан, AO табанының айналасында сызылған шеңбердің радиусы болып табылады.
(Бұл мынадан шығады)

Тең бүйірлі үшбұрыштың айналасына сызылған шеңбердің радиусын оның қасиеттерінен табамыз

Осыдан дұрыс үшбұрышты пирамиданың шеттерінің ұзындығы мынаған тең болады:
AM 2 = MO 2 + AO 2
пирамиданың биіктігі шарт бойынша белгілі (10 см), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Пирамиданың әр қабырғасы тең қабырғалы үшбұрыш. Төменде берілген бірінші формуладан тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын табамыз

S = 1/2 * 16 шаршы((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 шаршы((556/3) - 64)
S = 8 шаршы (364/3)
S = 16 шаршы (91/3)

Дұрыс пирамиданың үш беті тең болғандықтан, бүйір бетінің ауданы тең болады
3S = 48 √(91/3)

Жауап: 48 √(91/3)

Есеп 3. Дұрыс пирамиданың толық бетінің ауданын табыңыз

Дұрыс үшбұрышты пирамиданың қабырғасы 3 см, ал пирамиданың бүйір беті мен табанының арасындағы бұрыш 45 градус. Пирамиданың жалпы бетінің ауданын табыңыз.

Шешім.
Пирамида дұрыс болғандықтан, оның табанында тең бүйірлі үшбұрыш бар. Сондықтан базаның ауданы


Демек = 9 * √3/4

Бүйір бетінің ауданын табу үшін биіктігі KM есептейміз. Есепке сәйкес OKM бұрышы 45 градус.
Осылайша:
OK / MK = cos 45
Пайдаланайық

Құпиялықты сақтау біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялылық тәжірибелерімізді қарап шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерге жатады.

Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыздың кейбір мысалдары берілген.

Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:

• Сайтта өтініш жіберген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, электрондық пошта мекенжайыңызды және т.б. жинай аламыз.

Жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:

• Біз жинайтын жеке ақпарат бізге бірегей ұсыныстар, жарнамалық акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы сізбен байланысуға мүмкіндік береді.
• Кейде біз сіздің жеке ақпаратыңызды маңызды хабарламалар мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалана аламыз.
• Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
• Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе ұқсас науқанға қатыссаңыз, біз сіз берген ақпаратты осындай бағдарламаларды басқару үшін пайдалана аламыз.

Ақпаратты үшінші тұлғаларға ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.

Ерекшеліктер:

• Қажет болған жағдайда - заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізуде және/немесе Ресей Федерациясының аумағындағы мемлекеттік органдардың қоғамдық сұраныстары немесе сұраулары негізінде - жеке мәліметтеріңізді жария етуге. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық маңызды мақсаттар үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
• Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті мұрагерге үшінші тарапқа бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалудан, ұрланудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.

Компания деңгейінде құпиялылығыңызды құрметтеу

Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік стандарттарын хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибесін қатаң түрде орындаймыз.

Осы геометриялық фигура және оның қасиеттері туралы сұрақтарды оқымас бұрын кейбір терминдерді түсіну керек. Пирамида туралы естіген адам Египеттегі алып ғимараттарды елестетеді. Ең қарапайымдары осылай көрінеді. Бірақ олар әртүрлі түрлер мен пішіндерде келеді, яғни геометриялық фигуралар үшін есептеу формуласы әртүрлі болады.

Фигураның түрлері

Пирамида – геометриялық фигура, бірнеше беттерді білдіретін және білдіретін. Негізінде, бұл сол көпбұрыш, оның негізінде көпбұрыш жатыр, ал бүйірлерінде бір нүктеде - шыңда қосылатын үшбұрыштар бар. Фигураның екі негізгі түрі бар:

• дұрыс;
• қысқартылған.

Бірінші жағдайда негізі дұрыс көпбұрыш. Мұнда барлық бүйір беттер теңөздері мен фигураның өзі перфекционисттің көзін қуантады.

Екінші жағдайда екі негіз бар - ең төменгі жағында үлкен және үстіңгі жағында шағын, негізгінің пішінін қайталайды. Басқаша айтқанда, кесілген пирамида деп табанына параллель құрылған көлденең қимасы бар көпбұрышты айтады.

Терминдер мен белгілер

Негізгі терминдер:

• Тұрақты (теңбүйірлі) үшбұрыш- бұрыштары тең және қабырғалары тең үш фигура. Бұл жағдайда барлық бұрыштар 60 градус болады. Фигура қалыпты көп қырлылардың ең қарапайымы болып табылады. Егер бұл фигура негізде жатса, онда мұндай көпбұрышты тұрақты үшбұрыш деп атайды. Егер негізі шаршы болса, пирамида кәдімгі төртбұрышты пирамида деп аталады.
• Шың– жиектер түйіскен ең биік нүкте. Шыңның биіктігі пирамиданың шыңынан табанына дейін созылатын түзу сызық арқылы қалыптасады.
• Жиек– көпбұрыштың жазықтықтарының бірі. Ол үшбұрышты пирамида жағдайында үшбұрыш түрінде немесе кесілген пирамида үшін трапеция түрінде болуы мүмкін.
• Бөлім- кесу нәтижесінде түзілген жалпақ фигура. Оны бөліммен шатастырмау керек, өйткені бөлім бөлімнің артында не тұрғанын да көрсетеді.
• Апотем- пирамиданың төбесінен табанына дейін сызылған кесінді. Бұл сонымен қатар екінші биіктік нүктесі орналасқан беттің биіктігі. Бұл анықтама дұрыс көпбұрышқа қатысты ғана жарамды. Мысалы, егер бұл кесілген пирамида болмаса, онда бет үшбұрыш болады. Бұл жағдайда бұл үшбұрыштың биіктігі апотема болады.

Аудан формулалары

Пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңызкез келген түрін бірнеше жолмен жасауға болады. Егер фигура симметриялы болмаса және әр түрлі жақтары бар көпбұрыш болса, онда бұл жағдайда барлық беттердің жиынтығы арқылы жалпы бет ауданын есептеу оңайырақ. Басқаша айтқанда, әр беттің ауданын есептеп, оларды біріктіру керек.

Қандай параметрлер белгілі екеніне байланысты квадратты, трапецияны, ерікті төртбұрышты және т.б. есептеуге арналған формулалар қажет болуы мүмкін. Әртүрлі жағдайларда формулалардың өздеріайырмашылықтары да болады.

Тұрақты фигура жағдайында аумақты табу әлдеқайда оңай. Бірнеше негізгі параметрлерді білу жеткілікті. Көп жағдайда мұндай сандар үшін есептеулер арнайы талап етіледі. Сондықтан төменде сәйкес формулалар беріледі. Әйтпесе, бәрін бірнеше бетке жазуға тура келеді, бұл сізді тек шатастырып, шатастырады.

Есептеудің негізгі формуласыТұрақты пирамиданың бүйір бетінің ауданы келесі пішінге ие болады:

S=½ Па (P - негіздің периметрі және апотема)

Бір мысалды қарастырайық. Көпбұрыштың A1, A2, A3, A4, A5 сегменттері бар негізі бар және олардың барлығы 10 см-ге тең Апотем 5 см-ге тең болсын. Негіздің барлық бес беті бірдей болғандықтан, оны келесідей табуға болады: P = 5 * 10 = 50 см Содан кейін біз негізгі формуланы қолданамыз: S = ½ * 50 * 5 = 125 см квадрат.

Тұрақты үшбұрышты пирамиданың бүйір бетінің ауданыесептеу ең оңай. Формула келесідей көрінеді:

S =½* ab *3, мұндағы a - апотема, b - негіздің беті. Мұндағы үш фактор негіздің беттерінің санын білдіреді, ал бірінші бөлігі - бүйір бетінің ауданы. Мысал қарастырайық. Апотемасы 5 см, негізі шеті 8 см болатын фигураны есептейміз: S = 1/2*5*8*3=60 см квадрат.

Кесілген пирамиданың бүйір бетінің ауданыЕсептеу сәл қиынырақ. Формула келесідей көрінеді: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, мұндағы p_01 және p_02 - негіздердің периметрі және апотема. Мысал қарастырайық. Төртбұрышты фигура үшін табанының қабырғаларының өлшемдері 3 және 6 см, ал апотема 4 см делік.

Мұнда алдымен табандардың периметрлерін табу керек: р_01 =3*4=12 см; р_02=6*4=24 см мәндерді негізгі формулаға ауыстыру қалды және біз аламыз: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 см квадрат.

Осылайша, кез келген күрделіліктегі кәдімгі пирамиданың бүйір бетінің ауданын табуға болады. Сіз абай болуыңыз керек және шатастырмауыңыз керекбұл есептеулер бүкіл көпбұрыштың жалпы ауданымен. Егер сізге әлі де мұны істеу керек болса, көпбұрыштың ең үлкен негізінің ауданын есептеп, оны көпбұрыштың бүйір бетінің ауданына қосыңыз.

Бейне

Бұл бейне әртүрлі пирамидалардың бүйір бетінің ауданын қалай табуға болатыны туралы ақпаратты біріктіруге көмектеседі.

Математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындалу кезінде студенттер алгебра мен геометриядан алған білімдерін жүйелеуі керек. Мен барлық белгілі ақпаратты біріктіргім келеді, мысалы, пирамиданың ауданын қалай есептеу керек. Сонымен қатар, негіз және бүйір жиектерінен бастап бүкіл бетінің аумағына дейін. Егер бүйірлік беттермен жағдай анық болса, олар үшбұрыштар болғандықтан, онда негіз әрқашан әртүрлі.

Пирамида табанының ауданын қалай табуға болады?

Бұл кез келген фигура болуы мүмкін: ерікті үшбұрыштан n-бұрышқа дейін. Және бұл негіз, бұрыштар санының айырмашылығынан басқа, қалыпты фигура немесе тұрақты емес болуы мүмкін. Мектеп оқушыларын қызықтыратын Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмаларында тек дұрыс сандары бар тапсырмалар бар. Сондықтан біз олар туралы ғана айтамыз.

Тұрақты үшбұрыш

Яғни, тең жақты. Барлық жақтары тең және «а» әрпімен белгіленген. Бұл жағдайда пирамида табанының ауданы мына формула бойынша есептеледі:

S = (a 2 * √3) / 4.

Шаршы

Оның ауданын есептеу формуласы ең қарапайым, мұнда «a» қайтадан жағы болып табылады:

Ерікті тұрақты n-gon

Көпбұрыштың қабырғасы бірдей жазуға ие. Бұрыштардың саны үшін латынның n әрпі қолданылады.

S = (n * a 2) / (4 * тг (180º/н)).

Бүйірлік және жалпы бетінің ауданын есептеу кезінде не істеу керек?

Негізі дұрыс фигура болғандықтан, пирамиданың барлық беттері бірдей. Сонымен қатар, олардың әрқайсысы тең қабырғалы үшбұрыш болып табылады, өйткені бүйір шеттері тең. Содан кейін пирамиданың бүйірлік ауданын есептеу үшін сізге бірдей мономиалдардың қосындысынан тұратын формула қажет болады. Терминдер саны негіздің жақтарының санымен анықталады.

Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданы негіздің жартысы биіктікке көбейтілген формула бойынша есептеледі. Пирамидадағы бұл биіктік апотема деп аталады. Оның белгісі «А». Бүйір бетінің жалпы формуласы:

S = ½ P*A, мұндағы P – пирамида табанының периметрі.

Негіздің жақтары белгісіз, бірақ бүйір жиектері (c) және оның шыңындағы тегіс бұрыш (α) берілген жағдайлар бар. Содан кейін пирамиданың бүйірлік ауданын есептеу үшін келесі формуланы пайдалану керек:

S = n/2 * 2 sin α ішінде .

№1 тапсырма

Шарт.Пирамиданың жалпы ауданын табыңыз, егер оның табанының қабырғасы 4 см, ал апотеманың мәні √3 см болса.

Шешім.Негіздің периметрін есептеуден бастау керек. Бұл дұрыс үшбұрыш болғандықтан, P = 3*4 = 12 см апотема белгілі болғандықтан, біз бүкіл бүйір бетінің ауданын бірден есептей аламыз: ½*12*√3 = 6√3 см 2.

Негіздегі үшбұрыш үшін келесі аудан мәнін аласыз: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 см 2.

Бүкіл аумақты анықтау үшін алынған екі мәнді қосу керек: 6√3 + 4√3 = 10√3 см 2.

Жауап. 10√3 см 2.

№2 есеп

Шарт. Кәдімгі төртбұрышты пирамида бар. Негіз жағының ұзындығы 7 мм, бүйір жиегі 16 мм. Оның бетінің ауданын табу керек.

Шешім.Көпбұрыш төртбұрышты және дұрыс болғандықтан, оның негізі төртбұрыш. Негіз бен бүйір беттерінің ауданын білгеннен кейін пирамиданың ауданын есептей аласыз. Шаршының формуласы жоғарыда келтірілген. Ал бүйір беттер үшін үшбұрыштың барлық қабырғалары белгілі. Сондықтан олардың аудандарын есептеу үшін Герон формуласын қолдануға болады.

Алғашқы есептеулер қарапайым және келесі санға әкеледі: 49 мм 2. Екінші мән үшін жартылай периметрді есептеу керек: (7 + 16*2): 2 = 19,5 мм. Енді сіз тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын есептей аласыз: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 мм 2. Мұндай үшбұрыштардың төртеуі ғана бар, сондықтан соңғы санды есептеу кезінде оны 4-ке көбейту керек.

Шығарылады: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 мм 2.

Жауап. Қажетті мән - 267,576 мм 2.

№3 тапсырма

Шарт. Кәдімгі төртбұрышты пирамида үшін ауданды есептеу керек. Шаршының қабырғасы 6 см, биіктігі 4 см екені белгілі.

Шешім.Ең оңай жолы - периметр мен апотеманың көбейтіндісі бар формуланы қолдану. Бірінші мәнді табу оңай. Екіншісі сәл күрделірек.

Біз Пифагор теоремасын еске түсіруіміз керек және ол пирамиданың биіктігі мен гипотенуза болып табылатын апотема арқылы құрылғанын қарастыруымыз керек. Екінші катет квадраттың жарты жағына тең, өйткені көпбұрыштың биіктігі оның ортасына түседі.

Қажетті апотема (тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы) √(3 2 + 4 2) = 5 (см) тең.

Енді сіз қажетті мәнді есептей аласыз: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (см 2).

Жауап. 96 см 2.

№4 есеп

Шарт.Дұрыс жағы берілген, оның негізінің бүйірлері 22 мм, бүйір жиектері 61 мм. Бұл көпбұрыштың бүйір бетінің ауданы қандай?

Шешім.Ондағы пайымдау No2 тапсырмада сипатталғандай. Тек түбінде шаршысы бар пирамида берілген, енді ол алтыбұрышты.

Ең алдымен, базаның ауданы жоғарыдағы формула бойынша есептеледі: (6*22 2) / (4*тг (180º/6)) = 726/(тг30º) = 726√3 см 2.

Енді бүйір беті болып табылатын тең қабырғалы үшбұрыштың жартылай периметрін табу керек. (22+61*2):2 = 72 см, қалғаны әр үшбұрыштың ауданын есептеу үшін Герон формуласын пайдалану, содан кейін оны алтыға көбейтіп, негіз үшін алынғанға қосу.

Герон формуласы бойынша есептеулер: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 см 2. Бүйір бетінің ауданын беретін есептеулер: 660 * 6 = 3960 см 2. Бүкіл бетті табу үшін оларды қосу керек: 5217,47≈5217 см 2.

Жауап.Негізі 726√3 см2, бүйір беті 3960 см2, бүкіл ауданы 5217 см2.

үй » Сус » Үшбұрышты пирамиданың ауданы. Дұрыс пирамида. Анықтама: шаршы пирамиданың ауданы