ஒரு பிரமிட்டின் வரையறை

பிரமிட்ஒரு பாலிஹெட்ரான், அதன் அடிப்பகுதி பலகோணம் மற்றும் அதன் முகங்கள் முக்கோணங்கள்.

ஆன்லைன் கால்குலேட்டர்

பிரமிட்டின் சில கூறுகளின் வரையறையில் இது மதிப்புக்குரியது.

மற்ற பாலிஹெட்ராவைப் போலவே அவளுக்கும் உள்ளது விலா எலும்புகள். என்று அழைக்கப்படும் ஒரு புள்ளியில் அவை ஒன்றிணைகின்றன மேல்பிரமிடுகள். இது ஒரு தன்னிச்சையான பலகோணத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. விளிம்புஅடித்தளத்தின் பக்கங்களில் ஒன்று மற்றும் அருகிலுள்ள இரண்டு விளிம்புகளால் உருவாக்கப்பட்ட வடிவியல் உருவமாகும். எங்கள் விஷயத்தில் இது ஒரு முக்கோணம். உயரம்பிரமிடு என்பது விமானத்திலிருந்து அதன் அடித்தளம் பாலிஹெட்ரானின் மேல் இருக்கும் தூரமாகும். ஒரு வழக்கமான பிரமிடுக்கு, ஒரு கருத்தும் உள்ளது apothems- இது பிரமிட்டின் மேலிருந்து அதன் அடிப்பகுதிக்கு செங்குத்தாக இறங்குகிறது.

பிரமிடுகளின் வகைகள்

3 வகையான பிரமிடுகள் உள்ளன:

1. செவ்வக வடிவமானது- எந்த விளிம்பும் அடித்தளத்துடன் வலது கோணத்தை உருவாக்கும்.
2. சரி- அதன் அடிப்படை ஒரு வழக்கமான வடிவியல் உருவம், மற்றும் பலகோணத்தின் உச்சியானது அடித்தளத்தின் மையத்தின் ஒரு திட்டமாகும்.
3. டெட்ராஹெட்ரான்- முக்கோணங்களால் ஆன பிரமிடு. மேலும், அவை ஒவ்வொன்றையும் ஒரு அடிப்படையாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

ஒரு பிரமிட்டின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரம்

பிரமிட்டின் மொத்த பரப்பளவைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு மற்றும் அடித்தளத்தின் பகுதியைச் சேர்க்க வேண்டும்.

எளிமையான வழக்கு ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் வழக்கு, எனவே நாங்கள் அதைச் சமாளிப்போம். அத்தகைய பிரமிட்டின் மொத்த பரப்பளவைக் கணக்கிடுவோம். பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதி:

S பக்க = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pஎஸ் பக்கம்​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅ப

எல்.எல் எல்- பிரமிட்டின் apothem;
ப ப ப- பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் சுற்றளவு.

பிரமிட்டின் மொத்த பரப்பளவு:

S = S பக்க + S முக்கிய S=S_(\text(side))+S_(\text(main))எஸ்=எஸ் பக்கம்​ + எஸ் அடிப்படை​

S பக்க S_(\text(side)) எஸ் பக்கம்​ - பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு;
S முக்கிய S_(\text(அடிப்படை)) எஸ் அடிப்படை​ - பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பகுதி.

ஒரு சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு.

ஒரு முக்கோணப் பிரமிட்டின் அபோதெம் 8 (செ.மீ.) ஆக இருந்தால் அதன் மொத்த பரப்பளவைக் கண்டறியவும், அடிவாரத்தில் 3 (செ.மீ.) பக்கத்துடன் ஒரு சமபக்க முக்கோணம் உள்ளது.

தீர்வு

எல் = 8 எல் = 8 l =8
a = 3 a=3 a =3

அடித்தளத்தின் சுற்றளவைக் கண்டுபிடிப்போம். அடித்தளம் ஒரு சமபக்க முக்கோணமாக இருப்பதால் ஒரு அ அ, பின்னர் அதன் சுற்றளவு ப ப ப(அதன் அனைத்து பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9ப =a +a +a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9

பின்னர் பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு பகுதி:

S பக்க = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(side)=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36எஸ் பக்கம்​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅ப =2 1 ​ ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (சதுரத்தைப் பார்க்கவும்)

இப்போது பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியை, அதாவது முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம். எங்கள் விஷயத்தில், முக்கோணம் சமபக்கமானது மற்றும் அதன் பகுதியை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

S முக்கிய = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(அடிப்படை))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)எஸ் அடிப்படை​ = 4 3 ​ ⋅ அ 2 ​

ஒரு ஏ அ- முக்கோணத்தின் பக்கம்.

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

S முக்கிய = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3.9 S_(\text(அடிப்படை))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3 )\cdot 3^2)(4)\தோராயமாக3.9எஸ் அடிப்படை​ = 4 3 ​ ⋅ அ 2 ​ = 4 3 ​ ⋅ 3 2 ​ ≈ 3 . 9 (சதுரத்தைப் பார்க்கவும்)

மொத்த பரப்பளவு:

S = S பக்க + S முக்கிய ≈ 36 + 3.9 = 39.9 S=S_(\text(side))+S_(\text(main))\approx36+3.9=39.9எஸ்=எஸ் பக்கம்​ + எஸ் அடிப்படை​ ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (சதுரத்தைப் பார்க்கவும்)

பதில்: 39.9 செ.மீ.

மற்றொரு உதாரணம், இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது.

பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி 36 (செமீ 2) பரப்பளவைக் கொண்ட ஒரு சதுரமாகும். ஒரு பாலிஹெட்ரானின் அபோதெம் அடித்தளத்தின் பக்கத்தை விட 3 மடங்கு அதிகம் ஒரு அ அ. இந்த உருவத்தின் மொத்த பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

S குவாட் = 36 S_(\text(quad))=36எஸ் நான்கு​ = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a l =3 ⋅ அ

அடித்தளத்தின் பக்கம் அதாவது சதுரத்தின் பக்கத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். அதன் பரப்பளவு மற்றும் பக்க நீளம் தொடர்புடையது:

S quad = a 2 S_(\text(quad))=a^2எஸ் நான்கு​ = அ 2
36 = a 2 36=a^2 3 6 = அ 2
a = 6 a = 6 a =6

பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் சுற்றளவைக் கண்டுபிடிப்போம் (அதாவது, சதுரத்தின் சுற்றளவு):

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24ப =a +a +a +a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4

துறவறத்தின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18l =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8

எங்கள் விஷயத்தில்:

S குவாட் = S முக்கிய S_(\text(quad))=S_(\text(அடிப்படை))எஸ் நான்கு​ = எஸ் அடிப்படை​

பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதே எஞ்சியுள்ளது. சூத்திரத்தின் படி:

S பக்க = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(side)=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216எஸ் பக்கம்​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅ப =2 1 ​ ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (சதுரத்தைப் பார்க்கவும்)

மொத்த பரப்பளவு:

$எஸ்={எஸ்}^{\text{பக்கம் + எஸ்அடிப்படை = 2 1 6 + 3 6 = 2 5 2 (சதுரத்தைப் பார்க்கவும்)}}$

பதில்: 252 செ.மீ.

வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு அதன் அபோதெம் மற்றும் அடித்தளத்தின் அரை சுற்றளவுக்கு சமமாக இருக்கும்.

மொத்த பரப்பளவைப் பொறுத்தவரை, அடிப்படை பகுதியை பக்கத்திற்குச் சேர்க்கிறோம்.

ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு அடித்தளம் மற்றும் அபோதெமின் அரை சுற்றளவுக்கு சமமாக இருக்கும்.

ஆதாரம்:

அடித்தளத்தின் பக்கம் a ஆக இருந்தால், பக்கங்களின் எண்ணிக்கை n ஆக இருந்தால், பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு இதற்கு சமம்:

a l n/2 =a n l/2=pl/2

இதில் l என்பது apothem மற்றும் p என்பது பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் சுற்றளவு. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

இந்த சூத்திரம் பின்வருமாறு கூறுகிறது:

ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு பரப்பளவு, பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் சுற்றளவு மற்றும் அபோதெம் ஆகியவற்றின் பாதி தயாரிப்புக்கு சமம்.

பிரமிட்டின் மொத்த பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

எஸ் முழு = எஸ் பக்கம் +எஸ் அடிப்படை

பிரமிடு ஒழுங்கற்றதாக இருந்தால், அதன் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு அதன் பக்கவாட்டு முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

பிரமிட்டின் அளவு

தொகுதிபிரமிடு அடித்தளத்தின் பரப்பளவு மற்றும் உயரத்தின் மூன்றில் ஒரு பங்கிற்கு சமம்.

ஆதாரம். நாம் ஒரு முக்கோண ப்ரிஸத்திலிருந்து தொடங்குவோம். ப்ரிஸத்தின் மேல் தளத்தின் உச்சி A" மற்றும் கீழ் தளத்தின் எதிர் விளிம்பு BC வழியாக ஒரு விமானத்தை வரைவோம். இந்த விமானம் முக்கோண பிரமிடு A" ABC யை ப்ரிஸத்திலிருந்து துண்டித்துவிடும். ப்ரிஸத்தின் மீதமுள்ள பகுதியை திடமான உடல்களாக சிதைப்போம், பக்க முகங்களின் மூலைவிட்டங்கள் A"C மற்றும் B"C வழியாக ஒரு விமானத்தை வரைவோம். இதன் விளைவாக வரும் இரண்டு உடல்களும் பிரமிடுகளாகும். A"B"C" முக்கோணத்தை அவற்றுள் ஒன்றின் அடிப்பாகவும், C என்பதன் உச்சியாகவும் கருதினால், அதன் அடிப்பகுதியும் உயரமும் நாம் துண்டிக்கப்பட்ட முதல் பிரமிடு போலவே இருப்பதைக் காண்கிறோம், எனவே பிரமிடுகள் A"ABC மற்றும் CA"B"C" அளவு சமமாக உள்ளது. கூடுதலாக, CA"B"C" மற்றும் A"B"BC ஆகிய இரண்டும் புதிய பிரமிடுகளும் சம அளவில் உள்ளன - BBC" மற்றும் B"CC முக்கோணங்களை எடுத்துக் கொண்டால் இது தெளிவாகும். "அவற்றின் தளங்களாக. "சூரியன்களுக்கு ஒரு பொதுவான உச்சி A உள்ளது," மற்றும் அவற்றின் தளங்கள் ஒரே விமானத்தில் அமைந்துள்ளன மற்றும் சமமாக இருக்கும், எனவே, பிரமிடுகள் அளவு சமமாக இருக்கும். எனவே, ப்ரிஸம் சம அளவிலான மூன்று பிரமிடுகளாக சிதைகிறது; அவை ஒவ்வொன்றின் அளவும் ப்ரிஸத்தின் அளவின் மூன்றில் ஒரு பங்கிற்குச் சமமாக இருக்கும், பொதுவாக, ஒரு n-gonal பிரமிட்டின் அளவு, அதே உயரம் மற்றும் அதே அளவு கொண்ட ப்ரிஸத்தின் அளவின் மூன்றில் ஒரு பங்கிற்குச் சமமாக இருக்கும். அல்லது சமம்) ஒரு ப்ரிஸத்தின் அளவை வெளிப்படுத்தும் சூத்திரத்தை நினைவுபடுத்துவது, V=Sh, நாம் இறுதி முடிவைப் பெறுகிறோம்: V=1/3Sh.

எந்த உருவத்தை பிரமிடு என்று அழைக்கிறோம்? முதலாவதாக, இது ஒரு பாலிஹெட்ரான். இரண்டாவதாக, இந்த பாலிஹெட்ரானின் அடிப்பகுதியில் ஒரு தன்னிச்சையான பலகோணம் உள்ளது, மேலும் பிரமிட்டின் பக்கங்கள் (பக்க முகங்கள்) ஒரு பொதுவான உச்சியில் ஒன்றிணைக்கும் முக்கோணங்களின் வடிவத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். இப்போது, ​​இந்த வார்த்தையைப் புரிந்துகொண்ட பிறகு, பிரமிட்டின் பரப்பளவை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

அத்தகைய வடிவியல் உடலின் பரப்பளவு அடித்தளத்தின் பகுதிகள் மற்றும் அதன் முழு பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் கூட்டுத்தொகையால் ஆனது என்பது தெளிவாகிறது.

ஒரு பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல்

கணக்கீட்டு சூத்திரத்தின் தேர்வு நமது பிரமிடுக்கு அடியில் இருக்கும் பலகோணத்தின் வடிவத்தைப் பொறுத்தது. இது வழக்கமானதாக இருக்கலாம், அதாவது, அதே நீளத்தின் பக்கங்களுடன் அல்லது ஒழுங்கற்றதாக இருக்கலாம். இரண்டு விருப்பங்களையும் கருத்தில் கொள்வோம்.

அடிவாரத்தில் ஒரு வழக்கமான பலகோணம் உள்ளது

பள்ளி பாடத்திலிருந்து எங்களுக்குத் தெரியும்:

• சதுரத்தின் பரப்பளவு அதன் பக்க சதுரத்தின் நீளத்திற்கு சமமாக இருக்கும்;
• ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அதன் பக்கத்தின் சதுரத்திற்கு சமமாக 4 ஆல் வகுக்கப்பட்டு மூன்றின் வர்க்க மூலத்தால் பெருக்கப்படுகிறது.

ஆனால் வழக்கமான பலகோணத்தின் (Sn) பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான பொதுவான சூத்திரமும் உள்ளது: இந்த பலகோணத்தின் (P) சுற்றளவை அதில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் (r) மூலம் பெருக்க வேண்டும், பின்னர் வகுக்க வேண்டும். இரண்டு முடிவு: Sn=1/2P*r .

அடிவாரத்தில் ஒரு ஒழுங்கற்ற பலகோணம் உள்ளது

அதன் பரப்பளவைக் கண்டறிவதற்கான திட்டம் முதலில் முழு பலகோணத்தையும் முக்கோணங்களாகப் பிரித்து, அவை ஒவ்வொன்றின் பரப்பளவையும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட வேண்டும்: 1/2a*h (இங்கு a என்பது முக்கோணத்தின் அடிப்பகுதி, h என்பது குறைக்கப்பட்ட உயரம். இந்த அடிப்படை), அனைத்து முடிவுகளையும் சேர்க்கவும்.

பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு

இப்போது பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியைக் கணக்கிடுவோம், அதாவது. அதன் அனைத்து பக்கவாட்டு பக்கங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை. இங்கே 2 விருப்பங்களும் உள்ளன.

1. எங்களுக்கு ஒரு தன்னிச்சையான பிரமிடு இருக்கட்டும், அதாவது. அதன் அடிப்பகுதியில் ஒழுங்கற்ற பலகோணம் கொண்ட ஒன்று. பின்னர் நீங்கள் ஒவ்வொரு முகத்தின் பகுதியையும் தனித்தனியாக கணக்கிட்டு முடிவுகளைச் சேர்க்க வேண்டும். ஒரு பிரமிட்டின் பக்கங்கள், வரையறையின்படி, முக்கோணங்களாக மட்டுமே இருக்க முடியும் என்பதால், மேலே குறிப்பிடப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடு மேற்கொள்ளப்படுகிறது: S=1/2a*h.
2. எங்கள் பிரமிடு சரியாக இருக்கட்டும், அதாவது. அதன் அடிவாரத்தில் ஒரு வழக்கமான பலகோணம் உள்ளது, மேலும் பிரமிட்டின் மேற்பகுதியின் திட்டமானது அதன் மையத்தில் உள்ளது. பின்னர், பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் (எஸ்பி) பகுதியைக் கணக்கிட, அடிப்படை பலகோணத்தின் (பி) சுற்றளவின் பாதி தயாரிப்பு மற்றும் பக்கவாட்டு பக்கத்தின் உயரம் (எச்) (எல்லா முகங்களுக்கும் ஒரே மாதிரியானது) கண்டுபிடிக்க போதுமானது. ): Sb = 1/2 P*h. பலகோணத்தின் சுற்றளவு அதன் அனைத்து பக்கங்களின் நீளத்தையும் சேர்த்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் மொத்த பரப்பளவு அதன் அடித்தளத்தின் பரப்பளவை முழு பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவைக் கூட்டுவதன் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டாக, பல பிரமிடுகளின் மேற்பரப்பு பகுதிகளை இயற்கணித முறையில் கணக்கிடுவோம்.

முக்கோண பிரமிட்டின் மேற்பரப்பு பகுதி

அத்தகைய பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் ஒரு முக்கோணம் உள்ளது. So=1/2a*h என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அடித்தளத்தின் பரப்பளவைக் காணலாம். பிரமிட்டின் ஒவ்வொரு முகத்தின் பகுதியையும் கண்டுபிடிக்க அதே சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம், இது ஒரு முக்கோண வடிவத்தையும் கொண்டுள்ளது, மேலும் 3 பகுதிகளைப் பெறுகிறோம்: S1, S2 மற்றும் S3. பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு அனைத்து பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்: Sb = S1+ S2+ S3. பக்கங்கள் மற்றும் அடித்தளத்தின் பகுதிகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம், விரும்பிய பிரமிட்டின் மொத்த பரப்பளவைப் பெறுகிறோம்: Sp= So+ Sb.

ஒரு நாற்கர பிரமிட்டின் மேற்பரப்பு பகுதி

பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு 4 சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, ஒவ்வொன்றும் ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதிக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது. வழக்கமான அல்லது ஒழுங்கற்ற - நாற்கரத்தின் வடிவத்தைப் பொறுத்து அடித்தளத்தின் பகுதியைத் தேட வேண்டும். கொடுக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி மற்றும் மொத்த பரப்பளவைச் சேர்ப்பதன் மூலம் பிரமிட்டின் மொத்த பரப்பளவு மீண்டும் பெறப்படுகிறது.

வரையறை. பக்க முனை- இது ஒரு முக்கோணம், இதில் ஒரு கோணம் பிரமிட்டின் மேற்புறத்தில் உள்ளது, மேலும் எதிர் பக்கம் அடித்தளத்தின் பக்கத்துடன் (பலகோணம்) ஒத்துப்போகிறது.

வரையறை. பக்க விலா எலும்புகள்- இவை பக்க முகங்களின் பொதுவான பக்கங்கள். ஒரு பிரமிடு பலகோணத்தின் கோணங்களைப் போல பல விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

வரையறை. பிரமிட் உயரம்- இது பிரமிட்டின் மேலிருந்து அடிப்பகுதிக்கு செங்குத்தாக குறைக்கப்பட்டுள்ளது.

வரையறை. அபோதெம்- இது பிரமிட்டின் பக்க முகத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது, இது பிரமிட்டின் மேலிருந்து அடித்தளத்தின் பக்கத்திற்கு குறைக்கப்படுகிறது.

வரையறை. மூலைவிட்ட பிரிவு- இது பிரமிட்டின் மேற்புறம் மற்றும் அடித்தளத்தின் மூலைவிட்டம் வழியாக செல்லும் விமானம் மூலம் பிரமிட்டின் ஒரு பகுதி.

வரையறை. சரியான பிரமிடுஇது ஒரு பிரமிடு ஆகும், இதில் அடிப்படை ஒரு வழக்கமான பலகோணமாகும், மேலும் உயரம் அடித்தளத்தின் மையத்திற்கு இறங்குகிறது.

பிரமிட்டின் அளவு மற்றும் பரப்பளவு

சூத்திரம். பிரமிட்டின் அளவுஅடிப்படை பகுதி மற்றும் உயரம் மூலம்:

பிரமிட்டின் பண்புகள்

அனைத்து பக்க விளிம்புகளும் சமமாக இருந்தால், பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை வரையலாம், மேலும் அடித்தளத்தின் மையம் வட்டத்தின் மையத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. மேலும், மேலே இருந்து ஒரு செங்குத்தாக கைவிடப்பட்டது அடிப்படை (வட்டம்) மையத்தின் வழியாக செல்கிறது.

அனைத்து பக்க விளிம்புகளும் சமமாக இருந்தால், அவை ஒரே கோணத்தில் அடித்தளத்தின் விமானத்தில் சாய்ந்திருக்கும்.

பக்கவாட்டு விளிம்புகள் அடித்தளத்தின் விமானத்துடன் சமமான கோணங்களை உருவாக்கும் போது அல்லது பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்க முடியுமானால் சமமாக இருக்கும்.

பக்க முகங்கள் ஒரே கோணத்தில் அடித்தளத்தின் விமானத்தில் சாய்ந்திருந்தால், பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் ஒரு வட்டம் பொறிக்கப்படலாம், மேலும் பிரமிட்டின் மேற்பகுதி அதன் மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

பக்க முகங்கள் ஒரே கோணத்தில் அடித்தளத்தின் விமானத்தில் சாய்ந்திருந்தால், பக்க முகங்களின் அபோதெம்கள் சமமாக இருக்கும்.

வழக்கமான பிரமிட்டின் பண்புகள்

1. பிரமிட்டின் மேற்பகுதி அடித்தளத்தின் அனைத்து மூலைகளிலிருந்தும் சமமான தொலைவில் உள்ளது.

2. அனைத்து பக்க முனைகளும் சமமாக இருக்கும்.

3. அனைத்து பக்க விலா எலும்புகளும் அடித்தளத்திற்கு சமமான கோணங்களில் சாய்ந்திருக்கும்.

4. அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களின் அபோதெம்களும் சமமாக இருக்கும்.

5. அனைத்து பக்க முகங்களின் பகுதிகளும் சமமாக இருக்கும்.

6. அனைத்து முகங்களும் ஒரே இருமுனை (பிளாட்) கோணங்களைக் கொண்டுள்ளன.

7. பிரமிட்டைச் சுற்றி ஒரு கோளத்தை விவரிக்கலாம். சுற்றப்பட்ட கோளத்தின் மையம் விளிம்புகளின் நடுவில் செல்லும் செங்குத்துகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாக இருக்கும்.

8. நீங்கள் ஒரு கோளத்தை ஒரு பிரமிட்டில் பொருத்தலாம். பொறிக்கப்பட்ட கோளத்தின் மையம் விளிம்பிற்கும் அடித்தளத்திற்கும் இடையிலான கோணத்தில் இருந்து வெளிப்படும் இருபக்கங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாக இருக்கும்.

9. பொறிக்கப்பட்ட கோளத்தின் மையம் சுற்றப்பட்ட கோளத்தின் மையத்துடன் இணைந்தால், உச்சியில் உள்ள விமானக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை π அல்லது நேர்மாறாக இருக்கும், ஒரு கோணம் π/n க்கு சமம், n என்பது எண். பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் உள்ள கோணங்கள்.

பிரமிடுக்கும் கோளத்துக்கும் உள்ள தொடர்பு

பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் ஒரு பாலிஹெட்ரான் இருக்கும் போது ஒரு கோளத்தை சுற்றி விவரிக்க முடியும், அதைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்க முடியும் (தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை). கோளத்தின் மையம் பிரமிட்டின் பக்க விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள் வழியாக செங்குத்தாக செல்லும் விமானங்களின் வெட்டுப்புள்ளியாக இருக்கும்.

எந்த முக்கோண அல்லது வழக்கமான பிரமிட்டைச் சுற்றி ஒரு கோளம் எப்போதும் விவரிக்கப்படலாம்.

பிரமிட்டின் உள் இருமுனைக் கோணங்களின் இருபக்க விமானங்கள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டினால் (தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை) ஒரு கோளத்தை ஒரு பிரமிட்டில் பொறிக்க முடியும். இந்த புள்ளி கோளத்தின் மையமாக இருக்கும்.

ஒரு பிரமிடுக்கும் கூம்புக்கும் இடையிலான உறவு

ஒரு கூம்பு ஒரு பிரமிட்டில் பொறிக்கப்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது, அவற்றின் முனைகள் ஒன்றிணைந்தால், கூம்பின் அடிப்பகுதி பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது.

பிரமிட்டின் அபோதெம்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருந்தால் பிரமிட்டில் கூம்பு பொறிக்கப்படலாம்.

ஒரு கூம்பு ஒரு பிரமிட்டைச் சுற்றி வளைக்கப்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது, அவற்றின் செங்குத்துகள் ஒன்றிணைந்தால் மற்றும் கூம்பின் அடிப்பகுதி பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி வளைக்கப்படும்.

பிரமிட்டின் அனைத்து பக்கவாட்டு விளிம்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருந்தால் பிரமிட்டைச் சுற்றி ஒரு கூம்பு விவரிக்கப்படலாம்.

ஒரு பிரமிடுக்கும் உருளைக்கும் உள்ள உறவு

பிரமிட்டின் மேற்பகுதி உருளையின் ஒரு அடிப்பகுதியில் அமைந்திருந்தால், பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி சிலிண்டரின் மற்றொரு அடிப்பகுதியில் பொறிக்கப்பட்டிருந்தால், பிரமிடு உருளையில் பொறிக்கப்பட்டதாக அழைக்கப்படுகிறது.

பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்க முடிந்தால், ஒரு சிலிண்டரை ஒரு பிரமிட்டைச் சுற்றி விவரிக்க முடியும்.

ஒரு டெட்ராஹெட்ரானில் நான்கு முகங்கள் மற்றும் நான்கு முனைகள் மற்றும் ஆறு விளிம்புகள் உள்ளன, அங்கு எந்த இரண்டு விளிம்புகளிலும் பொதுவான செங்குத்துகள் இல்லை, ஆனால் அவை தொடாது.

ஒவ்வொரு உச்சியும் மூன்று முகங்கள் மற்றும் விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது முக்கோண கோணம்.

டெட்ராஹெட்ரானின் உச்சியை எதிர் முகத்தின் மையத்துடன் இணைக்கும் பிரிவு அழைக்கப்படுகிறது டெட்ராஹெட்ரானின் இடைநிலை(GM).

பைமீடியன்தொடாத (KL) எதிரெதிர் விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் பிரிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் அனைத்து பைமீடியன்களும் இடைநிலைகளும் ஒரு புள்ளியில் (S) வெட்டுகின்றன. இந்த வழக்கில், பைமீடியன்கள் பாதியாக பிரிக்கப்படுகின்றன, மற்றும் இடைநிலைகள் மேலே இருந்து தொடங்கி 3:1 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கப்படுகின்றன.

வரையறை. கடுமையான கோண பிரமிடு- ஒரு பிரமிடு, இதில் அபோதெம் அடித்தளத்தின் பக்கத்தின் பாதி நீளத்தை விட அதிகமாக உள்ளது.

வரையறை. மழுங்கிய பிரமிடு- ஒரு பிரமிடு, இதில் அபோதெம் அடித்தளத்தின் பக்கத்தின் பாதி நீளத்தை விட குறைவாக உள்ளது.

வரையறை. வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான்- நான்கு முகங்களும் சமபக்க முக்கோணங்களாக இருக்கும் ஒரு டெட்ராஹெட்ரான். இது ஐந்து வழக்கமான பலகோணங்களில் ஒன்றாகும். வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானில், அனைத்து இருமுனை கோணங்களும் (முகங்களுக்கு இடையில்) மற்றும் முக்கோண கோணங்களும் (உச்சியில்) சமமாக இருக்கும்.

வரையறை. செவ்வக டெட்ராஹெட்ரான்உச்சியில் மூன்று விளிம்புகளுக்கு இடையில் ஒரு செங்கோணத்துடன் கூடிய ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் (விளிம்புகள் செங்குத்தாக இருக்கும்). மூன்று முகங்கள் உருவாகின்றன வலது கோண முக்கோணம்மற்றும் முகங்கள் வலது முக்கோணங்கள், மற்றும் அடிப்படை ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணம். எந்த முகத்தின் apothem, apothem விழும் அடித்தளத்தின் பாதி பக்கத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

வரையறை. ஐசோஹெட்ரல் டெட்ராஹெட்ரான்ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் பக்க முகங்கள் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும், மேலும் அடிப்படை ஒரு வழக்கமான முக்கோணமாகும். அத்தகைய டெட்ராஹெட்ரான் ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்களின் முகங்களைக் கொண்டுள்ளது.

வரையறை. ஆர்த்தோசென்ட்ரிக் டெட்ராஹெட்ரான்ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் மேலிருந்து எதிர் முகத்திற்கு தாழ்த்தப்பட்ட அனைத்து உயரங்களும் (செங்குத்தாக) ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன.

வரையறை. நட்சத்திர பிரமிடுஒரு பாலிஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் அடிப்படை ஒரு நட்சத்திரம்.

பிரமிட்டின் மேற்பரப்பு பகுதி. இந்த கட்டுரையில் வழக்கமான பிரமிடுகளின் சிக்கல்களைப் பார்ப்போம். ஒரு வழக்கமான பிரமிடு என்பது ஒரு பிரமிடு என்பதை நினைவூட்டுகிறேன், அதன் அடிப்படை ஒரு வழக்கமான பலகோணமாகும், பிரமிட்டின் மேற்பகுதி இந்த பலகோணத்தின் மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

அத்தகைய பிரமிட்டின் பக்க முகம் ஒரு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணமாகும்.வழக்கமான பிரமிட்டின் உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட இந்த முக்கோணத்தின் உயரம் apothem, SF - apothem என்று அழைக்கப்படுகிறது:

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள சிக்கலின் வகையில், முழு பிரமிட்டின் பரப்பளவு அல்லது அதன் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். வலைப்பதிவு ஏற்கனவே வழக்கமான பிரமிடுகளுடன் பல சிக்கல்களைப் பற்றி விவாதித்துள்ளது, அங்கு உறுப்புகளை (உயரம், அடிப்படை விளிம்பு, பக்க விளிம்பு) கண்டுபிடிக்கும் கேள்வி எழுப்பப்பட்டது.

ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகள் வழக்கமாக வழக்கமான முக்கோண, நாற்கர மற்றும் அறுகோண பிரமிடுகளை ஆய்வு செய்கின்றன. வழக்கமான ஐங்கோண மற்றும் ஹெப்டகோனல் பிரமிடுகளில் எந்த பிரச்சனையும் நான் காணவில்லை.

முழு மேற்பரப்பின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரம் எளிதானது - நீங்கள் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு மற்றும் அதன் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:

பணிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பக்கங்கள் 72, பக்க விளிம்புகள் 164. இந்த பிரமிட்டின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

பிரமிட்டின் பரப்பளவு பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு மற்றும் அடித்தளத்தின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

*பக்க மேற்பரப்பு சம பரப்பில் நான்கு முக்கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது. பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி ஒரு சதுரம்.

பிரமிட்டின் பக்கத்தின் பகுதியைப் பயன்படுத்தி நாம் கணக்கிடலாம்:

எனவே, பிரமிட்டின் பரப்பளவு:

பதில்: 28224

வழக்கமான அறுகோண பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பக்கங்கள் 22 க்கு சமம், பக்க விளிம்புகள் 61 க்கு சமம். இந்த பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

வழக்கமான அறுகோண பிரமிட்டின் அடிப்படை ஒரு வழக்கமான அறுகோணமாகும்.

இந்த பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு 61,61 மற்றும் 22 பக்கங்களுடன் சமமான முக்கோணங்களின் ஆறு பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது:

ஹெரானின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எனவே, பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதி:

பதில்: 3240

*மேலே வழங்கப்பட்ட சிக்கல்களில், பக்க முகத்தின் பகுதியை மற்றொரு முக்கோண சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியலாம், ஆனால் இதற்கு நீங்கள் அபோதைமை கணக்கிட வேண்டும்.

27155. ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும், அதன் அடிப்படை பக்கங்கள் 6 மற்றும் அதன் உயரம் 4.

பிரமிட்டின் பரப்பளவைக் கண்டறிய, அடித்தளத்தின் பரப்பளவு மற்றும் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியை நாம் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்:

அடித்தளத்தின் பரப்பளவு 36 ஆகும், ஏனெனில் இது பக்க 6 உடன் ஒரு சதுரம்.

பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு நான்கு முகங்களைக் கொண்டுள்ளது, அவை சமமான முக்கோணங்கள். அத்தகைய முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் அதன் அடிப்பகுதி மற்றும் உயரத்தை அறிந்து கொள்ள வேண்டும் (apothem):

* ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அடித்தளத்தின் பாதிப் பெருக்கத்திற்கும், இந்த அடித்தளத்திற்கு வரையப்பட்ட உயரத்திற்கும் சமம்.

அடிப்படை அறியப்படுகிறது, அது ஆறுக்கு சமம். உயரத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள் (மஞ்சள் நிறத்தில் சிறப்பிக்கப்பட்டுள்ளது):

ஒரு கால் 4 க்கு சமம், இது பிரமிட்டின் உயரம் என்பதால், மற்றொன்று 3 க்கு சமம், ஏனெனில் இது அடித்தளத்தின் பாதி விளிம்பிற்கு சமம். பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஹைப்போடென்யூஸைக் கண்டறியலாம்:

இதன் பொருள் பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு:

எனவே, முழு பிரமிட்டின் பரப்பளவு:

பதில்: 96

27069. ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் அடித்தளத்தின் பக்கங்கள் 10 க்கு சமம், பக்க விளிம்புகள் 13 க்கு சமம். இந்த பிரமிட்டின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

27070. வழக்கமான அறுகோண பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பக்கங்கள் 10 க்கு சமம், பக்க விளிம்புகள் 13 க்கு சமம். இந்த பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்புக்கான சூத்திரங்களும் உள்ளன. ஒரு வழக்கமான பிரமிடில், அடித்தளமானது பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் செங்குத்துத் திட்டமாகும், எனவே:

பி- அடிப்படை சுற்றளவு, எல்- பிரமிட்டின் அபோதெம்

*இந்த சூத்திரம் ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

இந்த சூத்திரங்கள் எவ்வாறு பெறப்படுகின்றன என்பதைப் பற்றி மேலும் அறிய விரும்பினால், அதைத் தவறவிடாதீர்கள், கட்டுரைகளின் வெளியீட்டைப் பின்பற்றவும்.அவ்வளவுதான். அதிர்ஷ்டம் உங்களுக்கு உரித்தாகட்டும்!

உண்மையுள்ள, அலெக்சாண்டர் க்ருடிட்ஸ்கிக்.

பி.எஸ்: சமூக வலைப்பின்னல்களில் தளத்தைப் பற்றி நீங்கள் சொன்னால் நான் நன்றியுள்ளவனாக இருப்பேன்.

வீடு » விலங்குகளின் போக்குவரத்து » பிரமிட் உரிமைகளின் சதுரம். ஒரு பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு பரப்பளவை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது. பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு