Püramiidi pindala. Kuidas leida püramiidi külgpindala Valem tavalise püramiidi külgpinna jaoks
Millist kuju me nimetame püramiidiks? Esiteks on see hulktahukas. Teiseks on selle hulktahuka põhjas suvaline hulknurk ja püramiidi külgedel (külgpindadel) on tingimata kolmnurkade kuju, mis koonduvad ühte ühisesse tippu. Nüüd, olles mõistest aru saanud, uurime välja, kuidas leida püramiidi pindala.
On selge, et sellise geomeetrilise keha pindala koosneb aluse ja kogu selle külgpinna pindalade summast.
Püramiidi aluse pindala arvutamine
Arvutusvalemi valik sõltub meie püramiidi aluseks oleva hulknurga kujust. See võib olla korrapärane, st sama pikkusega külgedega või ebakorrapärane. Vaatleme mõlemat võimalust.
Alusel on korrapärane hulknurk
Koolikursusest teame:
- ruudu pindala on võrdne selle külje ruudu pikkusega;
- Võrdkülgse kolmnurga pindala võrdub selle külje ruuduga, mis on jagatud 4-ga ja korrutatud ruutjuurega kolmest.
Kuid on olemas ka üldine valem mis tahes korrapärase hulknurga (Sn) pindala arvutamiseks: peate korrutama selle hulknurga (P) ümbermõõdu sellesse kirjutatud ringi raadiusega (r) ja seejärel jagama tulemus kahega: Sn=1/2P*r .
Alusel on ebakorrapärane hulknurk
Selle pindala leidmise skeem on kõigepealt jagada kogu hulknurk kolmnurkadeks, arvutada nende pindala valemiga: 1/2a*h (kus a on kolmnurga alus, h on kõrgus, mis on langetatud see alus), liitke kõik tulemused.
Püramiidi külgpindala
Nüüd arvutame välja püramiidi külgpinna pindala, s.o. selle kõigi külgmiste külgede pindalade summa. Siin on ka 2 võimalust.
- Olgu meil suvaline püramiid, s.t. üks, mille põhjas on ebakorrapärane hulknurk. Seejärel peaksite arvutama iga näo pindala eraldi ja lisama tulemused. Kuna püramiidi küljed võivad definitsiooni järgi olla ainult kolmnurgad, tehakse arvutus ülalmainitud valemiga: S=1/2a*h.
- Olgu meie püramiid õige, s.t. selle põhjas asub korrapärane hulknurk ja püramiidi tipu projektsioon on selle keskel. Seejärel piisab külgpinna (Sb) pindala arvutamiseks sellest, et leida pool aluse hulknurga perimeetri (P) ja külgmise külje kõrguse (h) korrutisest (sama kõigi tahkude puhul). ): Sb = 1/2 P*h. Hulknurga ümbermõõt määratakse selle kõigi külgede pikkuste liitmise teel.
Tavalise püramiidi kogupindala leitakse selle aluse pindala liitmisel kogu külgpinna pindalaga.
Näited
Näiteks arvutame algebraliselt mitme püramiidi pindalad.
Kolmnurkse püramiidi pindala
Sellise püramiidi põhjas on kolmnurk. Valemi So=1/2a*h abil leiame aluse pindala. Kasutame sama valemit, et leida püramiidi iga külje pindala, millel on ka kolmnurkne kuju, ja saame 3 piirkonda: S1, S2 ja S3. Püramiidi külgpinna pindala on kõigi pindalade summa: Sb = S1+ S2+ S3. Külgede ja aluse pindalade liitmisel saame soovitud püramiidi kogupindala: Sp = So+ Sb.
Nelinurkse püramiidi pindala
Külgpinna pindala on 4 liikme summa: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, millest igaüks arvutatakse kolmnurga pindala valemi abil. Ja aluse pindala tuleb otsida sõltuvalt nelinurga kujust - korrapärane või ebakorrapärane. Püramiidi kogupind saadakse jällegi, kui liidetakse antud püramiidi aluse pindala ja kogupindala.
Püramiid on mitmetahuline kujund, mille alus on hulknurk ja ülejäänud tahud on kujutatud ühise tipuga kolmnurkadega.
Kui alus on ruut, siis nimetatakse püramiidi nelinurkne, kui kolmnurk – siis kolmnurkne. Püramiidi kõrgus tõmmatakse selle tipust risti alusega. Kasutatakse ka pindala arvutamiseks apoteem– küljepinna kõrgus, ülaosast allapoole langetatud.
Püramiidi külgpinna pindala valem on selle külgpindade pindalade summa, mis on üksteisega võrdsed. Seda arvutusmeetodit kasutatakse aga väga harva. Põhimõtteliselt arvutatakse püramiidi pindala läbi aluse perimeetri ja apoteemi:
Vaatleme näidet püramiidi külgpinna pindala arvutamiseks.
Olgu antud püramiid, mille alus on ABCDE ja tipp on F. AB=BC=CD=DE=EA=3 cm. Leia püramiidi külgpinna pindala.
Leiame perimeetri. Kuna aluse kõik servad on võrdsed, on viisnurga ümbermõõt võrdne:
Nüüd leiate püramiidi külgmise ala: 
Korrapärase kolmnurkse püramiidi pindala
Tavaline kolmnurkne püramiid koosneb alusest, milles asub korrapärane kolmnurk ja kolm külgpinda, mille pindala on võrdne.
Tavalise kolmnurkse püramiidi külgpinna valemit saab arvutada erineval viisil. Võite rakendada tavalist arvutusvalemit perimeetri ja apoteemi abil või leida ühe näo pindala ja korrutada see kolmega. Kuna püramiidi tahk on kolmnurk, rakendame kolmnurga pindala valemit. See nõuab apoteemi ja aluse pikkust. Vaatleme näidet tavalise kolmnurkse püramiidi külgpinna arvutamiseks.
Antud püramiid, mille apoteem on a = 4 cm ja aluspind b = 2 cm, leidke püramiidi külgpinna pindala.
Esiteks leidke ühe külgpinna ala. Sel juhul on see:
Asendage väärtused valemisse: 
Kuna tavalises püramiidis on kõik küljed ühesugused, on püramiidi külgpinna pindala võrdne kolme tahu pindalade summaga. Vastavalt: 
Tüvipüramiidi pindala
Kärbitud Püramiid on hulktahukas, mille moodustab püramiid ja mille ristlõige on paralleelne alusega.
Kärbitud püramiidi külgpinna valem on väga lihtne. Pindala on võrdne poole aluste perimeetrite ja apoteemi summa korrutisega: 
Vaatleme näidet kärbitud püramiidi külgpinna arvutamiseks.
Antud on korrapärane nelinurkne püramiid. Aluse pikkused on b = 5 cm, c = 3 cm. Leidke joonise külgpinna pindala.
Esiteks leiame aluste ümbermõõdu. Suuremas plaanis on see võrdne: 
Väiksemas aluses: 
Arvutame pindala:
Püramiidi pindala. Selles artiklis vaatleme tavaliste püramiididega seotud probleeme. Tuletan meelde, et tavaline püramiid on püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk, püramiidi tipp projitseeritakse selle hulknurga keskmesse.
Sellise püramiidi külgkülg on võrdhaarne kolmnurk.Selle korrapärase püramiidi tipust tõmmatud kolmnurga kõrgust nimetatakse apoteemiks, SF - apoteemiks:
Allpool esitatud probleemitüübi puhul peate leidma kogu püramiidi pindala või selle külgpinna pindala. Blogis on juba käsitletud mitmeid tavapüramiididega seotud probleeme, kus küsimus oli elementide leidmises (kõrgus, aluse serv, külgserv).
Ühtse riigieksami ülesannetes uuritakse tavaliselt korrapäraseid kolmnurkseid, nelinurkseid ja kuusnurkseid püramiide. Ma pole tavaliste viisnurksete ja seitsenurksete püramiididega probleeme näinud.
Kogu pinna pindala valem on lihtne - peate leidma püramiidi aluse pindala ja selle külgpinna pindala summa:
Vaatleme ülesandeid:
Tavalise nelinurkse püramiidi aluse küljed on 72, külgmised servad 164. Leidke selle püramiidi pindala.
Püramiidi pindala on võrdne külgpinna ja aluse pindalade summaga:
*Külgpind koosneb neljast võrdse pindalaga kolmnurgast. Püramiidi alus on ruut.
Püramiidi külje pindala saame arvutada, kasutades:
Seega on püramiidi pindala:
Vastus: 28224
Tavalise kuusnurkse püramiidi aluse küljed on 22, külgservad on 61. Leidke selle püramiidi külgpindala.
Korrapärase kuusnurkse püramiidi alus on korrapärane kuusnurk.
Selle püramiidi külgpind koosneb kuuest võrdsest kolmnurgast, mille küljed on 61, 61 ja 22:
Leiame kolmnurga pindala Heroni valemi abil:
Seega on külgpindala:
Vastus: 3240
* Ülaltoodud ülesannete puhul võib külgpinna pindala leida mõne teise kolmnurga valemi abil, kuid selleks peate arvutama apoteemi.
27155. Leia korrapärase nelinurkse püramiidi pindala, mille aluse küljed on 6 ja kõrgus 4.
Püramiidi pindala leidmiseks peame teadma aluse pindala ja külgpinna pindala:
Aluse pindala on 36, kuna see on ruut küljega 6.
Külgpind koosneb neljast tahust, mis on võrdsed kolmnurgad. Sellise kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma selle alust ja kõrgust (apoteem):
*Kolmnurga pindala on võrdne poolega aluse ja selle aluse kõrguse korrutisest.
Alus on teada, see võrdub kuuega. Leiame kõrguse. Mõelge täisnurksele kolmnurgale (kollasega esile tõstetud):
Üks jalg on võrdne 4-ga, kuna see on püramiidi kõrgus, teine on 3, kuna see võrdub poole aluse servaga. Hüpotenuusi leiame Pythagorase teoreemi abil:
See tähendab, et püramiidi külgpinna pindala on:
Seega on kogu püramiidi pindala:
Vastus: 96
27069. Tavalise nelinurkse püramiidi aluse küljed on 10, külgservad 13. Leia selle püramiidi pindala.
27070. Korrapärase kuusnurkse püramiidi aluse küljed on 10, külgservad on 13. Leidke selle püramiidi külgpindala.
Samuti on olemas valemid tavalise püramiidi külgpinna jaoks. Tavalises püramiidis on alus külgpinna ortogonaalne projektsioon, seega:
P- baasi perimeeter, l- püramiidi apoteem
*See valem põhineb kolmnurga pindala valemil.
Kui soovite nende valemite tuletamise kohta lisateavet, ärge jätke seda mööda, jälgige artiklite avaldamist.See on kõik. Edu sulle!
Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.
P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.
Tavalise püramiidi külgpinna pindala on võrdne selle apoteemi ja poole aluse perimeetri korrutisega.
Mis puutub kogupindalasse, siis lisame külgpinnale lihtsalt aluspinna.
Korrapärase püramiidi külgpind on võrdne aluse poolperimeetri ja apoteemi korrutisega.
Tõestus:
Kui aluse külg on a, külgede arv on n, siis on püramiidi külgpind võrdne:
a l n/2 =a n l/2=pl/2
kus l on apoteem ja p on püramiidi aluse ümbermõõt. Teoreem on tõestatud.
See valem kõlab järgmiselt:
Tavalise püramiidi külgpinna pindala on võrdne poolega püramiidi aluse perimeetri ja apoteemi korrutisest.
Püramiidi kogupindala arvutatakse järgmise valemiga:
S täis = S pool +S põhilised
Kui püramiid on ebakorrapärane, on selle külgpind võrdne selle külgpindade pindalade summaga.
Püramiidi ruumala
Helitugevus püramiid on võrdne ühe kolmandikuga aluse pindala ja kõrguse korrutisest.
Tõestus. Alustame kolmnurksest prismast. Joonestame tasapinna läbi prisma ülemise aluse tipu A" ja alumise aluse vastasserva BC. See tasapind lõikab prismast ära kolmnurkse püramiidi A" ABC. Me lagundame prisma ülejäänud osa tahketeks kehadeks, tõmmates tasapinna läbi külgpindade diagonaalide A"C ja B"C. Saadud kaks keha on samuti püramiidid. Arvestades kolmnurka A"B"C" ühe põhjaks ja C selle tipuks, näeme, et selle põhi ja kõrgus on samad, mis esimesel ära lõigatud püramiidil, seega püramiidid A"ABC ja CA"B"C" on suuruselt võrdsed. Lisaks on mõlemad uued püramiidid CA"B"C" ja A"B"BC ka võrdse suurusega - see selgub, kui võtta kolmnurgad BBC" ja B"CC " kui nende alused. "Päikestel on ühine tipp A," ja nende alused asuvad samal tasapinnal ja on võrdsed, seega on püramiidid võrdse suurusega. Seega on prisma jaotatud kolmeks võrdse suurusega püramiidiks; igaühe ruumala on võrdne ühe kolmandiku prisma ruumalaga, siis üldiselt on n-nurkse püramiidi ruumala võrdne ühe kolmandikuga sama kõrgusega ja sama (. või võrdne) alus Meenutades prisma ruumala väljendavat valemit, V=Sh, saame lõpptulemuse: V=1/3Sh.
Matemaatika ühtseks riigieksamiks valmistudes tuleb õpilastel süstematiseerida oma algebra ja geomeetria teadmised. Tahaksin ühendada kogu teadaoleva teabe, näiteks püramiidi pindala arvutamise kohta. Veelgi enam, alustades alus- ja külgservadest kuni kogu pinnani. Kui külgpindade olukord on selge, kuna need on kolmnurgad, on alus alati erinev.
Kuidas leida püramiidi aluse pindala?
See võib olla täiesti ükskõik milline kujund: suvalisest kolmnurgast kuni n-nurgani. Ja see alus võib lisaks nurkade arvu erinevusele olla tavaline kujund või ebakorrapärane. Kooliõpilasi huvitavates ühtse riigieksami ülesannetes on aluses vaid õigete arvudega ülesanded. Seetõttu räägime ainult neist.
Regulaarne kolmnurk
See tähendab, võrdkülgne. See, mille kõik küljed on võrdsed ja mida tähistatakse tähega "a". Sel juhul arvutatakse püramiidi aluse pindala järgmise valemiga:
S = (a 2 * √3) / 4.
Ruut
Selle pindala arvutamise valem on kõige lihtsam, siin on "a" jälle külg:
Suvaline korrapärane n-nurk
Hulknurga küljel on sama tähistus. Nurkade arvu jaoks kasutatakse ladina tähte n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Mida teha külg- ja kogupindala arvutamisel?
Kuna alus on tavaline kujund, on püramiidi kõik küljed võrdsed. Pealegi on igaüks neist võrdhaarne kolmnurk, kuna külgmised servad on võrdsed. Seejärel vajate püramiidi külgmise pindala arvutamiseks valemit, mis koosneb identsete monomiaalide summast. Terminite arv määratakse aluse külgede arvu järgi.
Võrdhaarse kolmnurga pindala arvutatakse valemiga, milles pool aluse korrutist korrutatakse kõrgusega. Seda kõrgust püramiidis nimetatakse apoteemiks. Selle tähis on "A". Külgpinna üldvalem on järgmine:
S = ½ P*A, kus P on püramiidi aluse ümbermõõt.
On olukordi, kus aluse küljed pole teada, kuid külgservad (c) ja selle tipu tasane nurk (α) on antud. Seejärel peate püramiidi külgpinna arvutamiseks kasutama järgmist valemit:
S = n/2 * 2 sin α .
Ülesanne nr 1
Seisund. Leidke püramiidi kogupindala, kui selle aluse külg on 4 cm ja apoteemi väärtus on √3 cm.
Lahendus. Alustuseks peate arvutama aluse ümbermõõdu. Kuna tegemist on tavalise kolmnurgaga, siis P = 3*4 = 12 cm, kuna apoteem on teada, saame kohe arvutada kogu külgpinna pindala: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
Põhjas oleva kolmnurga jaoks saate järgmise pindala väärtuse: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Kogu ala määramiseks peate liitma kaks saadud väärtust: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Vastus. 10√3 cm 2.
Probleem nr 2
Seisund. Seal on korrapärane nelinurkne püramiid. Aluskülje pikkus on 7 mm, külgserv 16 mm. On vaja välja selgitada selle pindala.
Lahendus. Kuna hulktahukas on nelinurkne ja korrapärane, on selle alus ruut. Kui teate aluse ja külgpindade pindala, saate arvutada püramiidi pindala. Ruudu valem on toodud ülal. Ja külgpindade jaoks on kolmnurga kõik küljed teada. Seetõttu saate nende pindalade arvutamiseks kasutada Heroni valemit.
Esimesed arvutused on lihtsad ja annavad järgmise arvu: 49 mm 2. Teise väärtuse jaoks peate arvutama poolperimeetri: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Nüüd saate arvutada võrdhaarse kolmnurga pindala: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Selliseid kolmnurki on ainult neli, nii et lõpliku arvu arvutamisel peate selle korrutama 4-ga.
Selgub: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Vastus. Nõutav väärtus on 267,576 mm 2.
Ülesanne nr 3
Seisund. Tavalise nelinurkse püramiidi jaoks peate arvutama pindala. Väljaku külg on teatavasti 6 cm ja kõrgus 4 cm.
Lahendus. Lihtsaim viis on kasutada valemit perimeetri ja apoteemi korrutisega. Esimest väärtust on lihtne leida. Teine on veidi keerulisem.
Peame meeles pidama Pythagorase teoreemi ja arvestama, et selle moodustavad püramiidi kõrgus ja apoteem, mis on hüpotenuus. Teine jalg on võrdne poole ruudu küljega, kuna hulktahuka kõrgus langeb selle keskele.
Nõutav apoteem (täisnurkse kolmnurga hüpotenuus) on võrdne √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Nüüd saate arvutada vajaliku väärtuse: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Vastus. 96 cm 2.
Probleem nr 4
Seisund.Õige külg on antud: selle aluse küljed on 22 mm, külgmised servad on 61 mm. Kui suur on selle hulktahuka külgpindala?
Lahendus. Põhjendus selles on sama, mis ülesandes nr 2 kirjeldatud. Ainult seal anti püramiid, mille põhjas on ruut, ja nüüd on see kuusnurk.
Kõigepealt arvutatakse baaspindala ülaltoodud valemi abil: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Nüüd peate välja selgitama võrdhaarse kolmnurga poolperimeetri, mis on külgpind. (22+61*2):2 = 72 cm Jääb üle vaid kasutada Heroni valemit, et arvutada iga sellise kolmnurga pindala, korrutada see kuuega ja liita see aluse jaoks saadud pindalaga.
Arvutused Heroni valemi abil: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Arvutused, mis annavad külgpinna pindala: 660 * 6 = 3960 cm 2. Kogu pinna väljaselgitamiseks tuleb need kokku liita: 5217,47≈5217 cm 2.
Vastus. Alus on 726√3 cm2, külgpind 3960 cm2, kogu pind 5217 cm2.
